Annexe : les nombres hautement composés
Étape 1 : on décompose 1063 en base 2, en procédant à des divisions successives par 2
1. Nombres machine et … nombres réels
1.4 L’erreur d’affectation
Dans les deux cas, le 12e chiffre est arrondi… et le 14e aussi (pour mémoire
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884).
En résumé, il n’est pas inutile d’avoir en tête ce que des collègues de l’IREM de Montpellier appelaient, il y a quelques années, la « trilogie de la calculatrice » :
1.4 L’erreur d’affectation
Ce que l’on appelle l’erreur d’affectation, c’est précisément l’écart entre le nombre réel que l’on cherche à représenter et le nombre machine qui le représente effectivement8.
C’est en quelque sorte le prix à payer de la finitude de toute calculatrice.
Cette erreur peut être calculée dans les exemples précédents. Nous ferons les calculs systématiquement avec les chiffres de réserve, avec lesquelles la calculatrice travaille :
1,234 567 890 129 2 – 1,234 567 890 129 187 6 = 1,24 10–14.
Obtenir une majoration de l’erreur d’affectation
L’erreur d’affectation a pu précédemment être calculée parce qu’on connaissait précisément la valeur entrée. C’est rarement le cas dans la pratique9.
7 Travaille-t-elle avec un chiffre de réserve supplémentaire ? La question est posée…
8 C’est une erreur absolue…
La trilogie de la calculatrice : le nombre qu’on rentre,
celui qu’elle affiche,
celui avec lequel elle travaille…
Très souvent, ces nombres sont deux à deux différents…
Par exemple, quand on souhaite travailler avec 2, la calculatrice affiche en fait le nombre décimal 1,414 213 562 37 (12 chiffres significatifs) et elle effectue ses calculs avec 1,414 213 562 3731, (14 chiffres significatifs)10.
Comme précédemment, l’erreur d’affectation est celle que l’on commet en remplaçant 2 par 1,4142135623731 (valeur considérée avec les chiffres de réserve).
À défaut d’être connue exactement, l’erreur peut être facilement majorée. Comme le résultat dans ce cas est arrondi, on est alors sûr que :
1,414 213 562 373 05 2 < 1,414 213 562 373 15
(la véritable valeur est 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209…) –5 10 – 14 2 – 1,414 213 562 373 1 < 5 10–14
soit
| 2 – 1,414 213 562 373 1| 5 10–14.
Remarquons que si l’on change le nombre11, le majorant de l’erreur d’affectation change lui aussi.
Ainsi par exemple, avec 123456789 :
on peut écrire : habituellement fl(a)12 le nombre machine correspondant à a.
Théorème
Dans une arithmétique flottante à t chiffres on a afl
a 5a p10t, avec p = 1 dans le cas de l'arrondi et p = 2 dans le cas de la troncature.
10 Une fois de plus le dernier chiffre de réserve est arrondi.
11 Ou du moins son ordre de grandeur…
12 fl pour flottant.
1Plaçons-nous maintenant dans le cas de l’arrondi.
Un cas se traite immédiatement, de la même façon que précédemment : en posant
Par le même raisonnement que précédemment, on a :
1 2 1 2 obtenir ne contient pas forcément les mêmes chiffres que m, même sur les t – 2 premiers chiffres.Ainsi si l’arrondi à 4 chiffres significatifs de 1,2879876 est 1,288, l’arrondi de 1,9999654 est 2,000…
qui n’a aucun chiffre en commun avec le nombre de départ. Il faut être prudent ! Notons donc b b b1, ...2 t l’arrondi de m. Alors :
1, ...2 t 1, ...2 t t 1... 0,0...0 t 1 t 2...
b b b a a a a c c , avec t – 1 chiffres 0 après la virgule.
Que se passe-t-il dans la soustraction ?
b1 , b2 … bt
– a1 , a2 … at at+1 at+2 …
0 , 0 0 ct+1 ct+2 …
Si at1 est le dernier chiffre non nul de m, alors ct15 et la différence vaut moins de 5 10 t.
On remarque que l’erreur produite lors d’un arrondi est majorée par un nombre deux fois plus petit que celui obtenu par troncature.
Ce théorème donne un majorant de l’erreur absolue : il est immédiat d’en déduire que l’erreur relative
Pour la TI-Nspire, en tenant compte des chiffres de réserve, on sait que t = 14 et que le quatorzième chiffre est arrondi : un majorant de l’erreur relative est donc 5 10–14.
À cause des erreurs d’affectation, deux nombres réels différents peuvent être représentés par le même nombre machine.
Ainsi par exemple, 1,234567890123456789 et 1,234567890123498765 sont représentés par le même nombre machine,1,2345678901235, comme le prouvent les écrans suivants :
Plus généralement, on conçoit qu’un même nombre machine représente en fait une infinité de nombres réels.
À l’inverse – rien n’est vraiment simple quand on travaille avec une calculatrice – deux nombres réels égaux sont parfois représentés par des nombres machine différents !
Prenons par exemple 3 2 2 et 2 1 : ces deux réels sont égaux (ce sont deux nombres positifs qui ont même carré) et la calculatrice en mode exact le confirme :
Si l’on s’en tient à l’affichage, les nombres ont l’air égaux ; en fait ils diffèrent légèrement par leurs chiffres de réserve (pour le premier, 08 et pour le second 10) : les calculs qui ont conduit aux résultats n’ont pas été exactement les mêmes…
Cet exemple met en évidence la supériorité du calcul formel sur le calcul en virgule flottante…
Gardons nous d’être là encore trop confiants, même si des progrès ont été faits ! Là où la Voyage 200 renvoyait le problématique :
la TI-Nspire obtient des résultats tout à fait satisfaisants :
Plus généralement, la calculatrice renvoie true si elle trouve un chemin d’un des membres du signe = vers l’autre ; sinon elle renvoie false. Mais on peut concevoir que le chemin à trouver soit invisible à la calculatrice. Par exemple, on sait grâce aux formules élémentaires de trigonométrie que
1 cos sin 12
24 2
… mais cette égalité formelle n’est pas perçue par la TI-Nspire, pas plus d’ailleurs que l’égalité approchée, à cause des chiffres de réserve…
En tout état de cause, la prudence s’impose, même avec le calcul formel.
Bref, il n’existe pas de panacée en matière de calcul par ordinateur ou calculatrice : on ne peut pas demander à ce type d’outil, par essence fini, de rendre compte de la complexité et de l’infinitude des objets mathématiques, qui relèvent du monde des idées. Des problèmes sont donc inévitables, et ce quel que soit le logiciel ou la calculatrices utilisés. Si l’utilisateur se doit de les connaître, pour bien maitriser son outil, il convient de rester réaliste et de ne pas mettre trop rapidement la calculatrice, ou l’ordinateur, aux oubliettes : on y perdrait un outil de calcul personnel extraordinaire qui rend dans la plupart des cas de bien fiers services13.