Annexe : les nombres hautement composés
Conjecture 3 : tout multiple non nul d’un nombre abondant est abondant
2. Les nombres de Mersenne
2.2 Premiers ou pas ?
termes de calcul au siècle de Mersenne, on ne peut qu’être dubitatif… D’autant qu’il avoue lui-même un peu plus bas « qu’une des plus grandes difficultés des mathématiques (…) est de reconnaître si un nombre donné de 15 ou 20 chiffres est premier ou non, puisque un siècle entier d’investigation ne suffit même pas pour cette investigation, avec l’une des méthodes connues à ce jour ». Alors ?
2.2 Premiers ou pas ?
Revenons plus précisément à notre étude. À quelle condition donc les nombres de la forme 2n – 1 sont-ils premiers ? Une première recherche à la calculatrice donne les résultats suivants :
Manifestement pour que 2n – 1 soit premier, il faut que n soit premier… mais cela ne suffit pas. En effet, on constate sur l’écran précédent que 211 – 1 = 2047 n’est pas premier alors que l’exposant 11 l’est…
La proposition suivante résume cette étude : Proposition
Si 2n – 1 est premier, alors n est premier.
Démonstration
Si n est composé, il s’écrit sous la forme n = uv avec u et v entiers strictement supérieurs à 1 et strictement inférieurs à n. Alors 2n – 1 = 2uv – 1 admet au moins deux diviseurs non triviaux : 2u – 1 et 2v – 1, car on sait que xk – 1 est divisible par x – 1. Ceci prouve que 2n – 1 est composé.
Remarquons que la réciproque est donc fausse comme on l’a vu plus haut… Il faut donc se contenter, comme souvent en arithmétique d’une condition nécessaire qui n’est pas suffisante.
L’étude qui précède justifie la définition suivante.
Définition
Mp = 2p – 1, avec p entier naturel premier, est par définition un nombre de Mersenne.
On comprend que l’hommage à Mersenne s’imposait. Les premiers nombres de Mersenne sont donc : M2 = 3 premier
Bien que l’exposant soit premier, ce nombres ne sont pas forcément tous premiers.
Une étude plus large des nombres de Mersenne, et de leur éventuelle factorisation, peut être entreprise sur le tableur par exemple. On obtient les résultats suivants :
Au passage on peut remarquer que les diviseurs de 2p – 1, lorsqu’ils existent, sont de la forme q = 1 + 2kp.
Ainsi pour 211 – 1, on a : 23 = 2 × 11 + 1 mais aussi : 89 = 8 11 + 1 ; de même, pour 223 – 1, on a : 47 = 2 × 23 + 1 mais aussi : 178 481 = 7 760 23 + 1 ; enfin pour 259 – 1, on a : 179 951 = 3 050 × 59 + 1 mais aussi : 3 203 431 780 337 = 54 295 453 904 59 + 1.
Démonstration
Une première démonstration, plus élégante, peut être proposée avec le vocabulaire et les outils de la théorie des groupes.
Si q premier divise 2p – 1, alors 2p 1 (modulo q).
Plaçons-nous dans le groupe
/q *,
. On peut donc dire que l’ordre de 2, strictement supérieur à 1, est nécessairement un diviseur de p. Mais p, par hypothèse, est premier. L’ordre de 2 est donc p lui-même.D’autre part, le groupe
/q *,
possède q – 1 éléments. En conséquence, 2q – 1 1 (modulo q).Ceci prouve que q – 1 est aussi un multiple de p.
Il existe donc un entier k’ tel que q = 1 + k’p
Plus précisément, comme q est impair, k’p est pair ; comme p lui-même est impair, nécessairement k’
est pair.
Finalement, q = 1 + 2kp.
Une autre démonstration peut être proposée, par exemple pour des élèves de Terminale S. Elle suit pas à pas le principe de la démonstration précédente, sans s’appuyer évidemment sur les résultats de la théorie des groupes.
Si q premier divise 2p – 1, alors 2p 1 (modulo q).
Considérons donc l’ensemble H = {n / 2n 1 (modulo q)}. Comme il contient p, cet ensemble est non vide. Il possède un plus petit élément, qu’on note l.
Montrons que tout élément de H est un multiple de l.
Soit donc n H.
L’ensemble H est donc l’ensemble des multiples de l.
Mais p est dans H, donc l divise p. Comme l 1, et que p est premier, l est donc égal à p.
D’après le théorème de Fermat, comme q est un nombre premier, on sait que : 2q – 1 1 (modulo q).
Ceci prouve que q – 1 appartient aussi à H, donc que q – 1 est un multiple de p.
Il existe donc un entier k’ tel que q = 1 + k’p
Plus précisément, comme q est impair, k’p est pair ; comme p lui-même est impair, nécessairement k’
est pair.
Finalement, q = 1 + 2kp.
Autrement dit, les diviseurs premiers éventuels d’un nombre de Mersenne sont forcément d’un type particulier : on peut donc simplifier l’algorithme des divisions successives en ne testant que ceux-là.
Nous reprendrons cet exemple dans le chapitre traitant de la factorisation des entiers.
Revenons à notre feuille de calcul précédente : au delà de 2611, quid des nombres de Mersenne premiers ? Que dire aussi de l’affirmation du Père Mersenne ?
Autres temps, autres moyens de calculs… Là où des dizaines d’années ont été nécessaires pour détecter là où le Père Mersenne s’était trompé, quelques secondes de notre calculatrice donnent son verdict implacable…
Presqu’immédiatement avec l’ordinateur, nous pouvons affirmer que Mersenne s’est trompé seulement 5 fois dans sa liste :
deux fois où les nombres qu’il propose ne sont pas premiers (pour n = 67 ou 257) ; trois oublis de nombres premiers (pour n = 61, 89, 107).
Pourquoi ne pas poursuivre un peu plus loin… Même notre performante calculatrice va demander un peu de temps : on ne travaille pas impunément sur des entiers aussi grands sans mobiliser ses circuits électroniques au maximum ! Quelques précautions s’imposent : d’abord, avec select_range, ne travailler qu’avec les nombres premiers ; ensuite tester dans la liste générée les valeurs x pour lesquelles 2x – 1 est premier13. Quelques secondes après14, l’incroyable résultat est là :
La liste des nombres de Mersenne premiers dont l’exposant est inférieur ou égal à 1500 comporte 15 éléments, correspondant aux exposants :
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279.
Mieux que Mersenne, non ?
L’exploration peut se poursuivre au-delà mais le traitement de listes avec des nombres gigantesques met la calculatrice en situation de dépassement de capacité.
Bilan de la recherche sur les nombres parfaits
À nombre de Mersenne premier, nombre parfait, selon le théorème d’Euclide...
Le plus grand nombre de Mersenne que nous ayons obtenu est 21279 – 1, avec 386 chiffres ! Le nombre parfait qui lui est associé, 21278 (21279 – 1), possède quant à lui 770 chiffres :
13 Avec select_range, on doit impérativement utiliser la variable x.
14 Dix minutes avec la calculatrice…
Un copier-coller depuis le logiciel jusqu’à notre traitement de texte donne la valeur suivante pour ce
« grand » nombre parfait :
5416252628436584741265446537439131614085649053903169578460392081838720699415853485 9198999921056719921919057390080263646159280013827605439746262788903057303445505827 0283951394752077690449244314948617294351131262808379049304627406817179604658673487 2099257219056946554529962991982343103109262424446354778963544148139171981644160558 6788092147886677321398756661624714551726964302217554281784254817319611951659855553 5739377889234051462223245067159791937573728208608782143220522275845375528974762561 7939517662442631448031344693508520365758479824753602117288040378304860287362125931 3789994900336673941503747224966984028240806042108690077670395259231894666273615212 7756035357647079522501738583051710286030212348966478513639499289049732921451075059 79911456221519899345764984291328
Enfin, pour conclure, rien n’interdit non plus d’améliorer en profondeur notre programme de recherche de nombres parfaits inférieurs à un entier m : si on ne recherche que les nombres parfaits pairs, ils sont de la forme 2n – 1 × (2n – 1) avec 2n – 1 premier. Et comme on n’a pas trouvé de nombres parfaits impairs15 jusqu’à aujourd’hui… Le code de la fonction suivante n’appelle aucun commentaire... Évidemment, la recherche est considérablement plus rapide qu’au début de ce chapitre…
On obtient des réponses rapides, spectaculairement rapides si l’on compare au tout premier programme de recherche écrit en début de chapitre.
Presque instantanément, sauf pour le dernier calcul, on obtient l’écran suivant :
Conclusion
À ce jour (juillet 2010), on connaît 47 nombres de Mersenne premiers et donc autant de nombres parfaits pairs. Euclide a reconnu que 28 était un nombre parfait en 275 av J-C.
En montrant que 231 – 1 était premier en 1772, Euler en a déduit que 230 (231 – 1) était un nombre parfait. Lucas a montré en 1876, évidemment sans ordinateur, que 2127 – 1 était premier : c’est le plus grand nombre dont on a montré la primalité sans ordinateur (il possède quand même 39 chiffres). Le douzième nombre parfait était obtenu !
Le nombre de Mersenne premier qui suit était inaccessible au calcul à la main. Robinson décroche en 1952 avec un ordinateur les exposants 521, 607, 1279 (ceux que nous avons obtenu avec notre calculatrice !), 2203, 2281.
Le plus grand nombre de Mersenne premier connu est « tombé » en août 2008 : 243 112 609 – 1 et c’est le plus grand nombre premier connu à ce jour. Il possède 12 978 189 chiffres et a été obtenu par l’un des quelques milliers d’amateurs membres du projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Un amateur qui demain peut être vous : il suffit de faire fonctionner sur son ordinateur un logiciel, discret, qui teste en tâche de fond la primalité de quelques nombres de Mersenne...
2500 ans de réflexion et de labeur pour trouver si peu de nombres : seulement 44, sans que l’on sache même s’il y en a une infinité...
Chapitre
La notion de pgcd de deux entiers est essentielle en arithmétique. L’algorithme que l’on met en œuvre pour le calculer est un des plus anciens de toute l’histoire des mathématiques, puisqu’on le trouve déjà exposé dans les Éléments d’Euclide, et aussi l’un des plus performants. Son étude s’impose donc.
Nous verrons aussi comment écrire sur la TI-Nspire le calcul des coefficients de Bézout.
Sommaire
Chapitre 4. Autour du PGCD de deux entiers ... 43 1. pgcd de deux entiers ... 44 1.1 Un algorithme classique ... 44 1.2 L’algorithme sur le tableur ... 44 1.3 Une fonction pgcd ... 46 1.4 La méthode des différences successives ... 48 1.5 Un pgcd récursif ... 50 2. L’algorithme d’Euclide étendu ... 51 2.1 Identité de Bézout ... 51 2.2 La description d’un premier algorithme ... 52 2.3 Algorithme d’Euclide étendu sur le tableur ... 53 2.4 Des fonctions pour l’algorithme d’Euclide étendu ... 54 Annexe : efficacité de l’algorithme d’Euclide ... 61