LFM – Mathématiques – Classe de 4ème 1

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LFM – Mathématiques – Classe de 4ème

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4^ème 2010-2011

3/ Application : des exemples à savoir revoir refaire

Exemple type 1

IGF est un triangle rectangle en I tel que IF=4cm et IG=3cm. Quelle est la longueur GF ?

• 1 ^ère étape : « On donne la configuration » IGF est rectangle en I, on peut appliquer le théorème de Pythagore.

• 2 ^ème étape : « On donne l'égalité de Pythagore » IF²+IG²=GF²

4²+3²=GF² GF²=25

GF=

√

25 « On utilise la touche racine carrée

√

^…^»

GF=5cm

Autre exemple du même type

• EFD est rectangle en D, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore.

• DF²+ DE²=FE² 1,5²+3,1²=FE² FE²=11,86

• FE=

√

^11,86

• La calculatrice donne 3,443835072. On donne une valeur approchée au millimètre près, c'est à dire en gardant un chiffre après la virgule.

FE≈3,4 cm (arrondi au dixième ou au millimètre près)

4^ème 2010-2011

Exemple type 2

• SHJ est un triangle rectangle en S, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore.

• ^SH²+ SJ²=HJ² SH²+3²=5²

• SH²=5²–3² « Attention à cette étape » SH²=16

• SH=

√

¹⁶

SH=4 cm

Un exemple du même type

• Dans le triangle rectangle EDF, appliquons le théorème de Pythagore :

• DF²+ DE²=FE² 1,7²+DE²=3,7²

DE²=3,7²−1,7² DE²=10,8

3Ch9 : Triangles rectangles -‐ Trigonométrie

I Le Théorème de Pythagore

1) Enoncé du théorème

Théorème de Pythagore

Il existe 2 façons de l’exprimer

Si un triangle ABC est rectangle en A alors on a l’égalité suivante 𝑩𝑪^𝟐= 𝑨𝑩^𝟐+𝑨𝑪^𝟐

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

2) Comment rédiger ?

Le théorème de Pythagore sert à calculer un des côtés d’un triangle rectangle connaissant les 2 autres.

1^er cas : CALCUL DE LA LONGUEUR DE L’HYPOTENUSE

ENONCE 1: Calculer la valeur exacte de la longueur EF, puis une valeur approchée au dixième

………..

………

2^ème cas : CALCUL DE LA LONGUEUR D’UN COTE DE L’ANGLE DROIT

ENONCE 2 : Calculer la valeur exacte de la longueur SH.

………..

………

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AB = 3,1 ; AC = 3,9 ; BC = 5 ABC est-il un triangle rectangle en A ?

II Conséquence du théorème de Pythagore

Propriété :

Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle n’est pas rectangle.

Exemple :

Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC]. BC² =25 On a AB²=3,1²=9,61 donc AB²+AC²=24,82≠25 AC²=3,9²=15,21

Comme AB²+AC² ≠BC²^,

d’après la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.

III Réciproque du théorème de Pythagore

Propriété : « Réciproque du théorème de Pythagore » Il existe 2 façons de l’exprimer

Dans le triangle ABC, si 𝑨𝑩^𝟐+𝑨𝑪^𝟐=𝑩𝑪^𝟐 alors le triangle ABC est rectangle en A

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égale a la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et ce plus grand côté est l’hypoténuse.

COMMENT REDIGER ?

La réciproque du théorème de Pythagore sert à montrer ……….

ENONCE : Soit un triangle ABC tel que AB = 1,5 cm , AC = 2,5 cm , BC = 2 cm Le triangle ABC est-‐il rectangle ? Justifier

………..

B

C A

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IV-‐ Cosinus d’un angle aigu

On rappelle qu’un angle aigu est un angle de mesure strictement comprise entre 0 et 90°.

1) Vocabulaire dans le triangle rectangle On considère un triangle DEF rectangle en F.

Le segment [DE] est l’hypoténuse du triangle DEF.

Le segment [DF] est appelé le côté adjacent à l’angle FDE.

Le segment [EF] est appelé le côté adjacent à l’angle DEF.

2) Cosinus d’un angle aigu (rappel)

Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’un des angles aigus est le quotient : longueur du côté adjacent à l'angle aigu

longueur de l'hypoténuse Ce quotient ne dépend que de l’angle.

Exemple :

ABC est un triangle rectangle en A.

BC Bˆ = BA

cos . De même cos ACB=

Remarque : le cosinus d’un angle aigu n’a pas d’unité et est strictement compris entre 0 et 1.

3) Utilisations du cosinus

a) Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle en utilisant le cosinus

Hypoténuse Côté adjacent

à l’angle ABC

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b) Calculer un angle d’un triangle rectangle en utilisant le cosinus Calculer la mesure de l’angle ABC à 1 degré près.

V-‐ Sinus et tangente d’un angle aigu 1) Sinus d’un angle aigu

Dans un triangle rectangle, le sinus de l’un des angles aigus est le quotient : longueur du côté opposé à l'angle aigu

longueur de l'hypoténuse Ce quotient ne dépend que de l’angle.

Exemple :

BC Bˆ = AC

sin . De même sin ACB=

Remarque : le sinus d’un angle aigu n’a pas d’unité et est strictement compris entre 0 et 1.

Application : Calcul d’un angle à l’aide du sinus

Calculer la mesure de l’angle ACB à 1 degré près

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2) Tangente d’un angle aigu

Dans un triangle rectangle, la tangente de l’un des angles aigus est le quotient : longueur du côté opposé à l'angle aigu

longueur du côté adjacent à l'angle aigu Ce quotient ne dépend que de l’angle.

Exemple :

AB Bˆ = AC

tan . De même tan ACB=

Application : Calculer un côté d’un triangle à l’aide de la tangente Calculer la longueur du côté [AC] à 0,1 cm près