D612- Retrouvailles avec le cercle des neuf points.
Solution
Rappelons succinctement les propriétés du cercle des neufs points d’un triangle ABC. Ce cercle passe par les milieux des côtés du triangle, par les pieds des hauteurs sur les côtés et enfin par les milieux des segments qui joignent les sommets au point de rencontre des hauteurs. Voir dans la figure ci-après le cercle au contour vert de centre X et passant par les points I,J et K milieux des côtés, par les points P,Q et R pieds des hauteurs et par les points L,M et N milieux des segments AH,BH et CH. Le cercle circonscrit au triangle ABC est de centre O. Il est tracé en bleu.:
On note en particulier que :
1) LPI étant un triangle rectangle en P, le point I milieu de BC, le point L milieu du segment AH qui relie le point A au point de rencontre des hauteurs et X qui est le centre du cercle des 9 points sont alignés.
Il en est de même des points K,N et X et des points J,M et X.
2) Les points O, H et X sont alignés et X est le milieu de OH (droite d’Euler)
D’où la construction ABC avec comme points de départ I,X et O centre du cercle circonscrit à ABC.
1) tracer le cercle des 9 points de centre X et de rayon XI (cercle rouge) 2) repérer L symétrique de I par rapport à X
3) tracer H symétrique de O par rapport à X
4) OI étant médiatrice de BC, tracer la perpendiculaire à OI en I qui coupe le cercle des 9 points en P
5) tracer la droite PHL qui est la hauteur du triangle ABC issue de A.
6) repérer le point A symétrique de H par rapport à L
7) tracer le cercle de centre O et de rayon OA qui coupe la perpendiculaire à OI en I aux points B et C. Les points A,B et C sont les sommets du triangle recherché.
