H104-Drôle de suite

H104-Drôle de suite

Solution

On suppose tout d’abord que les deux premiers termes u₀et u₁ sont tous deux positifs avec b

u et a

u₀  ₁  . On peut établir l’arborescence ci-après qui décrit toutes les configurations possibles :

On observe que toutes les branches de l’arborescence mènent respectivement aux nombres a – b, a et b aux 9^ème,10^ème et 11^ème itérations. La période est donc de 9 dans tous les cas.

On vérifie facilement que si a ou b est négatif, on obtient rapidement deux nombres positifs et l’on est ainsi ramené au cas précédent.

A titre d’exemple prenons u₀  et u₁ avec  nombre d’or. On obtient le tableau suivant :

Si l’on prend u₀  et u₁ pour premiers termes, on obtient :

u(1) u(2) u(3) u(4) u(5) u(6) u(7) u(8) u(9) u(10) u(11)

3,141592654 1,618033989 -1,523558665 -0,094475324 1,618033989 1,712509313 0,094475324 -1,618033989 1,523558665 3,141592654 1,618033989

u(1) u(2) u(3) u(4) u(5) u(6) u(7) u(8) u(9) u(10) u(11)

-3,141592654 1,618033989 4,759626642 3,141592654 -1,618033989 -1,523558665 3,141592654 4,665151318 1,523558665 -3,141592654 1,618033989