D2923. Le jardin des g´ eom` etres
1/OE est la m´ediatrice deJ H,OF celle deGI ⇒ OE ⊥OF 2/OT ⊥EF :
J H est la polaire deE // Ω GI est la polaire de F // Ω
DoncEF est la polaire deZ // Ω ⇒ OZ ⊥EF 3/P,Oet Zsont align´es, doncP Z ⊥EF :
Posonsα=OEH\ etβ =OF G\ ⇒ HOG\ =π−α+β =CDA\ DoncCDA\ etABC\ sont compl´ementaires, etABCDest inscrit dans le cercle ωde centre P.
Il r´esulte du th´eor`eme de Poncelet sur les polygones inscrits et circonscrits `a des coniques que tout quadrilat`ere circonscrit `a Ω et dont 3 sommets apparti- ennent `a ωest inscrit dans ce cercle. Ce qui est int´eressant ici est que lorsque les droites GI et HJ pivotent autour du point Z fixe, E et F d´ecrivent la polaire deZ // Ω´egalement fixe. L’alignementP OZ est impos´e puisqu’`a
1
toute configuration ABCDEF on peut faire correspondre une configuration A0B0C0D0E0F0 sym´etrique par rapport `aP O, perpendiculaire `aEF. Nota : T = EF ∩P O est le point de Miquel du quadrangle, commun aux 4 cercles BEA,BCF,DF Aet ECD.
4/EP ⊥F Z F P ⊥EZ :
Z appartient aux droites AC et BD: on peut le voir comme application du th´eor`eme de Brianchon aux hexagones d´eg´en´er´esABCDo`uGetId’une part, H et J d’autre part, seraient des points doubles.
On a ´erig´e r´ecemment la statue de C´edric Villani au croisement AC×EF, et celle de Riemann au milieu du segment EF :
(A, C, Z, V) =−1 ⇒ EF est aussi la polaire deZ // ω L’image de la droiteEF dans l’inversion (P,ω) est le cercle de diam`etreP Z.
On d´ecide aussi d’´eriger la statue de Sophie Germain, seule math´ematicienne du jardin, `a l’intersectionSgdeEP avec ce cercle de diam`etreP Z: P Sg ⊥ZSg. Sg appartient aussi au cercle de diam`etre EF, donc SgF est une hauteur du triangleEF P dontZ est l’orthocentre.
5/KL⊥M N :
En vertu d’un th´eor`eme dˆu `a Newton sur les centres des coniques inscrites dans
2
un quadrilat`ere, les pointsK, Let R (milieux des diagonales du quadrilat`ere complet ABCDEF), et O sont align´es sur la droite de Newton du quadri- lat`ere. Les diagonales sont les coniques du faisceau d´eg´en´er´ees en droite double.
Dans l’inversion (O,Ω),N est l’inverse deE etM l’inverse deF : - le cercleOZM N est l’inverse deEF
- M N est l’inverse du cercle de diam`etre EF, c’est-`a-dire l’axe radical de ce cercle avec Ω.
DoncM N est perpendiculaire `a la droite des centresKOLR.
3
