I135 - Perdu dans le bois [**** à la main]
Problème proposé par Jean Nicot
Zig a suivi en partie un sentier rectiligne très long bordant un très grand bois. Il s’en écarte
perpendiculairement sur 500 mètres, jusqu’à un point A où il repère un buisson de houx. Sans trop s’en écarter, il zigzague au voisinage de A pour chercher des champignons.
Pour repartir, il revient en A, mais il se rend alors compte qu’il ne sait plus du tout d’où il y est arrivé.
En comptant ses pas, Zig peut aller en ligne droite sur une distance choisie et tourner d’un angle de 15° ou d’un multiple. Suivre un arc de cercle lui parait impossible.
Q1- Quelle est la plus courte trajectoire qu’il doit suivre pour être absolument certain de retrouver le sentier ?
Q2- Même question si Zig avait été capable de suivre un arc de cercle.
Solution proposée par l’auteur
Le sentier est une tangente au cercle Γ de centre A et de rayon 500 m. Zig doit donc opter pour une trajectoire qui coupe toutes les tangentes de Γ.
Q-1 Si Zig décrit un carré circonscrit au cercle Γ. S’il rejoint le carré en un point de contact avec Γ, il devra parcourir tout le carré, soit un total de 4500 m. Il doit d’abord arriver sur un angle du carré puis en parcourir 3 côtés car cela suffit pour couper toutes les tangentes. D’où une trajectoire T4 de 500 +3000 = 3707 m.
(angles 45 et 90°)
Un polygone régulier de n côtés fera utiliser des angles de π/n et 2π/n, sera inscrit dans un cercle de rayon R=500/cos(π/n) et aura un côté de longueur a=1000*tg(π/n) et induira un trajet Tn=R+(n-1)a.
La contrainte sur les angles ne permet l’utilisation que de n=3, 4, 6 et 12, pour des trajets Tn T3=1000+2*1732 = 4464,1(angles 30° et 60°) T4=707,1 +3000 = 3707,1(angles 45° et 90°)
T6= 6*577, 35 =3464,1 (angles 60°) T12= 517,64+11*267,95=3465,1(angles 15° et 30°) Si Zig décrit un triangle équilatéral circonscrit à Γ , il devra aller jusqu’à un angle du triangle et en parcourir seulement deux côtés. Le cöté du triangle vaut 2*500/tg(π/6)=1732m et pour rejoindre un angle il faut parcourir 500/cos(π/3)= 1000m soit un trajet T3 de 1000+2*1732 = 4464,1m (angles 30 et 60°) Si Zig décrit un hexagone régulier circonscrit à Γ , il devra aller jusqu’à un angle de l’hexagone soit
500/cos(π/6)=577,35m puis parcourir 5 côtés de même longueur, soit une trajectoire T6 de 6*577, 35 = 3464,1m (angles 60°)
Si Zig décrit un dodécagone régulier circonscrit à Γ , il devra aller jusqu’à un angle du dodécagone soit 500/cos(π/12)=517,64m puis parcourir 11 côtés de longueur 2*500*tg(π/12)= 267,95, soit une trajectoire T12 de 517,64+11*267,95 = 3465,1m (angles 15° et 30°)
La trajectoire T4 peut être améliorée en remplaçant deux côtés du carré par un demi hexagone, ce qui fait gagner 2000-3*577, 35= 267,95 pour arriver à T’4 = 3439,05 m ou par un demi dodécagone, ce qui fait gagner 2000-6*267,95=392,3 pour arriver à 3260,02 m
La trajectoire T3 peut être améliorée en remplaçant deux demi-côtés du triangle par un tiers d’ hexagone, ce qui fait gagner 1732-2*577,35 = 577,3pour arriver à 3886,8 m ou par un tiers de dodécagone, ce qui fait gagner 1732-4*267,95=660,2pour arriver à T’3 = 3803,9 m
La trajectoire T6 peut être améliorée en prolongeant les 4 premiers côtés de l’ hexagone par le dernier demi côté du carré tangent au cercle (R) , ce qui fait un trajet de 5*577,35+500 = T’6 = 3388,2 m
La trajectoire T12 peut être améliorée : on commence avec un demi-côté d’hexagone, puis ½+6+1/2 côtés de dodécagone, et ½ côté de carré, pour un total de T’2=(577,35*3/2)+(7*267,95)+500 = 3241,67 m
Q-2 Le plus simple est de gagner le bord de Γ et d’en faire le tour pour 500(1+2 π = 3641,59 m.
Là aussi, il est mieux de s’éloigner un peu plus de Γ. Comparons la dimension A0Y0 +Y0G0 à l’arc Z0Y0 en fonction de l’angle Y0 A0 G0= β soit 500 /cos(β) +2*500/tg(β) avec 500*2 β / 2 π. L’optimum est atteint pour β= π/6. Il faut commencer par ½ côté d’hexagone.
Après avoir parcouru l’arc G0V, il est intéressant de prendre le segment tangent V VV plutôt que l’arc VX
en optimisant l’angle V A0 W=δ pour la plus grande valeur de Δ = arc VZ0 - segment V W, soit Δ = 500*2 δ / 2 π - 500*tg(δ)
. L’optimum est atteint pour δ = π/4. Il faut terminer par ½ côté du carré.
Il reste 2 π- π /3- π /2=7 π/6, valeur angulaire de l’arc du cercle Γ qu’il faut parcourir Le total est T =(577,35*3/2)+(500*7 π/6)+500 =3198,62 m
