I10335. Tour complet
Peut-on faire le tour des 46 carrefours de ce r´eseau par un parcours ferm´e passant une fois et une seule en chacun, et revenant au point de d´epart ?
Solution
On arrive facilement `a tracer un parcours passant par tous les carrefours mais ne revenant pas au point de d´epart. Quant aux parcours ferm´es, le plus grand (en nombre de carrefours) ne d´epasse pas 45, laissant un carrefour isol´e `a l’int´erieur.
Supposons en effet qu’il existe un parcours ferm´e (de 46 arˆetes) passant par les 46 carrefours sommets de ce graphe. A son int´erieur se trouventaarˆetes, f5 faces `a 5 cˆot´es etf8faces `a 8 cˆot´es (toutes les faces, sauf la “face infinie”, ont 5 ou 8 cˆot´es).
Totalisant les nombres de cˆot´es de ces faces, on a 5f5+ 8f8 = 2a+ 46, car les arˆetes int´erieures au parcours sont compt´ees deux fois. Enlevons une `a une ces arˆetes int´erieures : `a chaque arˆete enlev´ee le nombre de faces diminue d’une unit´e, et quand toutes sont enlev´ees il reste f5+f8−a= 1 face.
Donca=f5+f8−1 puis 5f5+ 8f8= 2f5+ 2f8−2 + 46, et finalement 3f5+ 6f8 = 44, impossible.
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