G155 – Comment ne pas perdre le Nord [** à la main]
Dans cette capitale d’un lointain pays, un tiers des habitants ont la réputation de mentir systématiquement aux questions qui leur sont posées tandis que les autres disent la vérité trois fois sur quatre. Dans tous les cas, les réponses des uns et des autres sont indépendantes entre elles quels que soient les interlocuteurs. Un groupe de cinq touristes s’est perdu dans le centre-ville. Quatre d’entre eux, chacun à son tour, demandent à un même passant si la direction du Musée de la Vérité est « Nord » ou « Sud ». Ils obtiennent successivement la même réponse : « Nord ». Le dernier touriste s’apprête à poser la même question au même passant.
Quelle est la réponse (Nord ou Sud) du passant qui donnera au groupe le plus de chance ... de ne pas perdre le Nord ?
Solution proposée par Paul Voyer
Il y a un seul passant, qui a 1 chance sur 3 d'être menteur.
Si c'est un menteur, probabilité 1/3, il ment toujours.
Si c'est un autre, probabilité 2/3, il ment avec une probabilité de 1/4.
La probabilité d'obtenir la bonne réponse est alors (2/3)(3/4)=1/2.
Si la vérité est Nord,
- si on a eu affaire au menteur, il avait la probabilité 0 de répondre 4 fois Nord - si on a eu affaire à l'autre, il a dit la vérité 4 fois, probabilité 81/256.
La probabilité d'obtenir 4 fois la réponse Nord était (2/3)(81/256)=27/128=0.21
Si la vérité est Sud,
- si on a eu affaire au menteur, il avait la probabilité 1 de répondre 4 fois Nord - si on a eu affaire à l'autre, il a menti 4 fois, probabilité 1/256.
La probabilité d'obtenir 4 fois la réponse Nord était (1/3)+(2/3)(1/256)=(129/3)*128=129/384=.33
La probabilité pour que le Nord soit la vérité est 81/(129+81)=81/210=27/70=0.39.
Si la cinquième réponse est Sud, on saura que le passant n'était pas un menteur chronique.
On aura reçu comme réponses 4 Nord et 1 Sud, soit il a menti 1 fois, et la vérité est Nord, probabilité (3/4)4(1/4))=81/1024, soit il a menti 4 fois, probabilité (3/4)(1/4)4=3/1024 , et la vérité est Sud.
La vérité est donc Nord à 27/28 = 0.96.
Si la cinquième réponse est Nord :
Si la vérité est Nord, elle aura été affirmée 5 fois par le moins-menteur, avec une probabilité de (2/3)(3/4)5=81/512
Si la vérité est Sud, elle aura été niée 5 fois par le menteur ou niée 5 fois par le moins- menteur, avec une probabilité (1/3)+(2/3)(1/4)5=171/512
La répartition est donc :
- Nord à une probabilité de 81/(81+171)=81/252=9/28=0.32 - Sud à une probabilité de 171/(81+171)=19/28=0.68
En résumé, si la réponse à la cinquième question est Sud, la vérité est Nord avec un taux de confiance de 27/28 = 96%,
Si la réponse est Nord, on saura s'orienter dans l'autre sens, car la vérité est Sud, mais avec un taux de confiance de seulement 19/28 = 68%.
