G155 : Comment ne pas perdre le Nord ?

G155 : Comment ne pas perdre le Nord ?

Énoncé : Dans cette capitale d’un lointain pays, un tiers des habitants ont la réputation de mentir systématiquement aux questions qui leur sont posées tandis que les autres disent la vérité trois fois sur quatre. Dans tous les cas, les réponses des uns et des autres sont indépendantes entre elles quels que soient les interlocuteurs. Un groupe de cinq touristes s’est perdu dans le centre-ville. Quatre d’entre eux, chacun à son tour,demandent à un même passant si la direction du Musée de la Vérité est « Nord » ou « Sud ». Ils

obtiennent successivement la même réponse : « Nord ». Le dernier touriste s’apprête à poser la même question au même passant. Quelle est la réponse (Nord ou Sud) du passant qui donnera au groupe le plus de chance ...de ne pas perdre le Nord ?

On considère les événements :

– A : "Le passant ment toujours"

– B : "Le passant dit trois fois sur quatre la vérité"

– C : "Le passant donne 5 fois la même réponse"

– D : "Le passant donne les quatre première fois la même réponse, mais pas la cinquième"

– Mi : "La i^è réponse est un mensonge"

– Vi : "La i^è réponse est la vérité"

On note P_EF la probabilité de F sachant E.

On note que A et B sont complémentaires, ainsi que Mi et Vi. D'après l'énoncé, PA=1

3 , PB=2

3 , P_BV_i=3

4 et P_BM_i=1 4 . Pour gagner de la place, on écrira ^PBM_i=P_BM , de même pour V.

N.B. : Les "soit" ne sont utilisés ici que pour décomposés les événements de façon disjointes.

Si la dernière réponse est Nord :

Le passant a alors donné 5 fois la même réponse, donc soit c'est un menteur systématique, soit ce n'est pas un menteur systématique et il a dit 5 fois la vérité, soit ce n'est pas un menteur systématique et il a menti 5 fois.

Donc PC=PAPB⋅P_BV⁵PB⋅P_BM⁵=1 32

3⋅









De plus, PC∩V₅ est la probabilité que le passant donne 5 fois la même réponse et que la dernière soit la vérité, donc qu'il dise 5 fois la vérité (et ne soit pas un menteur systématique), d'où PC∩V₅=PB⋅P_BV⁵=2

3⋅





On a alors P_CV₅=PC∩V₅ PC =2

3⋅





Il y a donc environ 67,86 % de chance que le musée soit au Sud si le passant répond Nord.

Si la dernière réponse est Sud :

Le passant a alors donné 4 fois la même réponse puis une réponse différente, donc ce n'est pas un menteur et soit il a d'abord dit 4 fois la vérité, soit il a dit 4 fois un mensonge.

Donc PD=PB⋅





3⋅

 ^

^

^

^



Ensuite PD∩V₅=PB⋅P_BM₁∩M₂∩M₃∩M₄∩V₅=2

3⋅





512 car la seule façon d'avoir 4 fois la même réponse suivie d'une réponse vraie différente est d'avoir 4 réponses fausses suivies d'une vraie donné par un non-menteur.

Finalement P_DV₅=PD∩V₅ PD = 1

512⋅128 7 = 1

28

Il y a donc environ 96,43 % de chance que le musée soit au Nord si le passant répond Sud.

Ainsi, si la dernière réponse est Sud, les touristes seront au mieux confortés dans leur choix.