Enoncé G155 (Diophante) Comment ne pas perdre le Nord
Dans cette capitale d’un lointain pays, un tiers des habitants ont la ré- putation de mentir systématiquement aux questions qui leur sont posées tandis que les autres disent la vérité trois fois sur quatre. Dans tous les cas, les réponses des uns et des autres sont indépendantes entre elles quels que soient les interlocuteurs.Un groupe de cinq touristes s’est perdu dans le centre-ville. Quatre d’entre eux,chacun à son tour,demandent à un même passant si la direction du Musée de la Vérité est « Nord » ou « Sud ». Ils obtiennent successivement la même réponse : « Nord ». Le dernier touriste s’apprête à poser la même question au même passant. Quelle est la réponse (Nord ou Sud) du passant qui donnera au groupe le plus de chance . . .de ne pas perdre le Nord ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Si la 5e réponse est Nord, cela peut correspondre à trois possibilités : – le passant est un “gros menteur” (proba = 1/3), et la vraie direction est Sud ;
– le passant est un “petit menteur” (proba = 2/3), et la vraie direction est Sud (proba (1/4)5) ;
– le passant est un “petit menteur” (proba = 2/3), et la vraie direction est Nord (proba (3/4)5).
La probabilité totale 1/3 + (2/3)(1 + 35)/45 = 63/128 se répartit en (2/3)(3/4)5 = 81/512 avec vraie direction Nord, et 63/128−81/512 = 171/512 avec vraie direction Sud.
Sachant que la réponse est 5 fois Nord, la probabilité que la vraie direction soit Nord est (128/63)(81/512) = 9/28, la probabilité que la vraie direction soit Sud est (128/63)(171/512) = 19/28.
Si la 5e réponse est Sud, le passant est un petit menteur.
– soit la vraie direction est Nord (proba (3/4)4(1/4) = 81/1024) ; – soit la vraie direction est Sud (proba (1/4)4(3/4) = 3/1024).
Probabilité totale de ces réponses 84/1024.
Sachant que la réponse est 4 fois Nord puis Sud, la probabilité que la vraie direction soit Nord est (1024/84)(81/1024) = 27/28, la probabilité que la vraie direction soit Sud est (1024/84)(3/1024) = 1/28.
Le meilleur choix est donc la direction opposée à la 5e réponse, mais avec une plus grande certitude si la réponse est Sud.
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