Soit 0< a≤b≤c, les trois entiers . Notons q etr le quotient et le reste de la division euclidienne de b par a : b =aq+r .
Nous allons amener b à r puis à 0 par itération du procédé .
La décomposition binaire de q : q =x0.20+x1.21 +· · ·+xk.2k nous donne l’enchaînement de k+ 1 opérations . Pour i = 0 ,1,· · · , k , on enlève a à b ou cselon que xi = 1 ouxi = 0 , puis on doublea . A la fin , b=r < a et il ne reste plus qu’à réordonner a, b, c avant de renouveler la manœuvre . Illustration avec : a= 47 , b= 161 et c= 197 .
161 = 3×47 + 22 et3 = 20+ 21.
a =a×22 = 188, b=b−(20+ 21)a= 20 , c=c= 197.
On réordonne : a= 20 , b = 188 etc= 197.
188 = 9×20 + 8 et9 = 20 + 23.
a =a×24 = 320 , b=b−(20+ 23)a = 8 , c=c−(21+ 22)a = 77.
On réordonne : a= 8 , b= 77 et c= 320 . 77 = 9×8 + 5 et 9 = 20+ 23.
a =a×24 = 128 , b=b−(20+ 23)a = 5 , c=c−(21+ 22)a = 272.
On réordonne : a= 5 , b= 128 etc= 272.
128 = 25×5 + 3 et25 = 20+ 23+ 24.
a =a×25 = 160 , b=b−(20+ 23 + 24)a= 3 , c =c−(21 + 22)a= 242.
On réordonne : a= 3 , b= 160 etc= 242.
160 = 53×3 + 1 et53 = 20+ 22+ 24+ 25.
a =a×26 = 192 b=b−(20+ 22+ 24+ 25)a= 1 , c =c−(21+ 23)a= 212.
On réordonne : a= 1 b= 192 etc= 212.
192 = 192×1 + 0et 192 = 26+ 27.
a =a×28 , b=b−(26+ 27)a , c =c−(20+ 21+ 22+ 23+ 24+ 25)a.
Alors a= 256 , b= 0 et c= 149 et c’est fini .
