Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov

Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov

Notations

– Posons τ_hf =f(·+h) l’opérateur de translation d’une fonction f ∈L^p(R^N) par un vecteur h,

– notons C_c(R^N) l’espace vectoriel des fonctions continues à support compact dans R^N, et C_c^∞(R^N) =C_c(R^N)∩ C^∞(R^N).

Théorème 1 (Riesz-Fréchet-Kolmogorov)

Soit Ω un ouvert de R^N et soit ω une partie ouverte et relativement compacte de Ω. Soit F un sous ensemble borné de L^p(Ω), où 1≤p <+∞. On suppose que :

∀ >0, ∃δ >0 (δ < d(ω,Ω^c)) de sorte que

kτ_hf −fk_L^p_(ω)< , pour tout h∈R^N où khk< δ et f ∈ F.

Alors, F|ω est relativement compact dans L^p(ω).

Démonstration : Sans perte de généralités, on peut supposer que Ω est borné.

Pour f ∈ F, on pose

f¯(x) =

( f(x) si x∈Ω 0 sinon

et on note ¯F = {f , f¯ ∈ F }. F étant borné dans L^p(Ω), ¯F est alors borné dans L^p(R^N). Ayant supposé Ω borné, le support de chaque élément de ¯F est compact (dans ¯Ω) et ¯F est alors borné dans L¹(R^N) par une constante notéeC.

Considérons (ρ_n)n≥1 une approximation de l’unité dans R^N. La démonstration de ce théorème se découpe en trois étapes principales :

• Première étape : démontrons que, étant donné >0 fixé, kρ_n∗f¯−fk¯ _L^p_(ω)< pour tout ¯f ∈F¯ etn >1/δ.

En effet, pour toutx∈ω etn ∈N^∗,

|ρ_n∗f¯(x)−f(x)| ≤¯

Z

R^N

|f(x¯ −y)−f¯(x)|ρ_n(y)dy

=

Z

R^N

|f¯(x−y)−f(x)|ρ¯ _n(y)^1pρ_n(y)^1−1pdy.

Puisque ρ_n ∈ C_c^∞(R^N) et ¯f ∈ L^p(R^N), on a |f(x¯ − ·)− f(x)|ρ¯

1

np ∈ L^p(R^N) et ρ¹⁻

1

n p ∈L^q(R^N) où 1/p+ 1/q= 1. Par l’inégalité de Hölder appliquée à la dernière intégrale, on obtient

|ρn∗f¯(x)−f(x)| ≤¯

Z

R^N

|f(x¯ −y)−f¯(x)|^pρn(y)dy

_p¹ Z

R^N

ρ^q(1−

1 p) n

¹_q

1

et, en observant que q(1−¹_p) = 1 et que ρ_n est une identité approchée, il vient

|ρ_n∗f¯(x)−f¯(x)| ≤

Z

R^N

|f¯(x−y)−f(x)|¯ ^pρ_n(y)dy

¹_p

.

En élevant cette dernière inégalité à la puissance p, on a

|ρ_n∗f¯(x)−f¯(x)|^p ≤

Z

R^N

|f¯(x−y)−f(x)|¯ ^pρ_n(y)dy.

Finalement, en intégrant l’inégalité précédente surω et en utilisant le théorème de Fubini, on obtient

Z

ω

|ρ_n∗f¯(x)−f¯(x)|^p ≤

Z

ω

Z

B(0,_n¹)

|f¯(x−y)−f(x)|¯ ^pρ_n(y)dydx

=

Z

B(0,_n¹)

ρ_n(y)

Z

ω

|f¯(x−y)−f(x)|¯ ^pdxdy

=

Z

B(0,_n¹)

ρ_n(y)kτ_yf −fk^p_Lp(ω)dy.

Dès lors que n >1/δ, d’après les hypothèses de l’énoncé, on a bien kρ_n∗f¯−fk¯ _L^p_(ω) < pour tout ¯f ∈F.¯

• Deuxième étape : démontrons que, pour chaque entier n ≥ 1, la famille H_n := (ρ_n∗F¯)|w¯ vérifie les hypothèses du théorème d’Ascoli, rappelé ci-dessous.

Théorème 2 (Ascoli)

Soit K un espace métrique compact, et E un espace vectoriel normé. Notons C(K, E) l’ensemble des fonctions continues deX dansE. SoitGun sous ensemble de C(K, E).

Alors, G est relativement compacte dans C(K, E) si et seulement si les deux hypothèses suivantes sont vérifiées :

(i) pour tout x∈K, {g(x), g ∈G} est relativement compacte dans E, (ii) G est uniformément équicontinue, c’est à dire

∀ >0, ∃δ >0, ∀x, y ∈K,kx−yk< δ ⇒ ∀g ∈G, kg(x)−g(y)k< . D’une part, pour x∈ω, on a¯

|ρ_n∗f¯(x)| ≤ kρ_nk_∞kf¯k_L1(R^N)

≤C· kρnk∞

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et l’hypothèse (i) du théorème d’Ascoli est alors vérifiée.

D’autre part, pour tous x₁, x₂ ∈R^N et ¯f ∈F, on a¯

|(ρ_n∗f)(x¯ ₁)−(ρ_n∗f¯)(x₂)| ≤ kx₁−x₂kkρ_nk_Lipkf¯k_L¹_(R^N₎

≤Ckρ_nk_Lipkkx₁−x₂k où

kρ_nk_Lip = sup

z16=z₂

kρ_n(z₁)−ρ_n(z₂)k

kz₁−z₂k <+∞.

Il en résulte, d’après le théorème d’Ascoli, que la famille H_n est relativement compacte dans C(¯ω,C) et donc dans L^p(ω).

Troisième étape : Conclusion de la démonstration. Étant donné > 0, on fixe n >1/δ de sorte que

kρ_n∗f¯−fk_L^p_(ω) <

2 pour tout ¯f ∈F¯.

La famille H_n étant relativement compacte dans l’espace complet L^p(ω), on peut recouvrir H_n par un nombre fini de boules de rayon /2 dans L^p(ω), i.e

H_n ⊂

k

[

i=1

B(f_i, 2) oùf₁, ..., f_k ∈L^p(ω).

Pour f ∈ F|ω, si i ∈ {1, ..., k}, en écrivant f −f_i = f −ρ_n∗f¯+ρ_n∗f¯−f_i, on obtient kf−f_ik_L^p_(ω) < , d’où

F|ω ⊂

k

[

i=1

B(f_i, )

ce qui prouve que F_|ω est relativement compact dans L^p(ω) (un ensemble précom- pact dans un espace complet étant compact).

Corollaire 1

Soit G ∈ L¹(R^N) une fonction fixée et soit F = G∗ B où B désigne un sous ensemble borné de L^p(R^N), avec 1≤p < +∞.

Alors F|ω est relativement compact dans L^p(ω) pour tout ouvert borné ω de R^N. Démonstration : Si u∈ B, on a G∗u∈L^p(R^N) et

kG∗uk_p ≤ kgk₁kuk_p

≤M · kgk1

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pour une certaine constante M bornant B dans L^p(R^N). Ainsi, F est borné dans L^p(R^N).

De plus, si f =G∗u avecu∈ B, on a

kτ_hf−fk_Lp(R^N) =k(τ_hG−G)∗uk_Lp(R^N)

≤M · kτhG−Gk_L¹_(R^N₎. On conclut grâce au lemme suivant :

Lemme 1 (Continuité de l’opérateur translation dans L^q(R^N)) Soit G∈L^q(R^N), où 1≤q <+∞. Alors

h→0limkτ_hG−Gk_L^q_(R^N₎ = 0

Démonstration: Soit >0 donné. L’ensembleC_c(R^N) étant dense dansL^q(R^N), il existe G₁ ∈ C_c(R^N) de sorte que kG−G₁k_q < .

On a, pour tout h∈R^N,

kτ_hG−Gk_q≤ kτ_hG−τ_hG₁k+kτ_hG₁−G₁k_q+kG₁−Gk_q

≤2+kτ_hG₁ −G₁k_q.

D’autre part, l’utilisation du théorème de convergence dominée assure que

h→0limkτ_hG₁−G₁k_q = 0.

Ainsi,

lim sup

h→0

kτ_hG−Gk_q ≤2

et ce pour tout >0, ce qui prouve le lemme énoncé.

Références

H.Brézis,Analyse fonctionnelle.

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