ANALYSE FONCTIONNELLE

Université d’Artois

Faculté des Sciences Jean Perrin

MASTER I Mathématiques-Informatique 2005–2006

ANALYSE FONCTIONNELLE

EXAMEN : durée : 4 heures vendredi 13 janvier 2006

Exercice 1.(3 points : 1+1+1)

SoitC¹([0,1]) l’espace vectoriel des fonctions continûment dérivables sur [0,1], muni de la norme uniformekfk∞= sup_x∈[0,1]|f(x)|.

SoitD:C¹([0,1])→ C([0,1]) l’application linéaire définie parD(f) =f⁰. 1) Montrer queD n’est pas continue.

2) Montrer que le graphe deD est fermé.

3) Pourquoi cela ne contredit-il pas le Théorème du Graphe fermé ?

Exercice 2.(3 points : 0,5+[1,5+1]) Soit16p <+∞.

1) Donner un exemple d’une fonction (non nulle)f ∈L^p(R).

2) Sif ∈L^p(R), on pose, pourn∈Z:fn(x) =f(x) e^2πinx. Montrer que la suite(fn)n>1 converge faiblement dansL^p(R), mais pas en norme (si f 6= 0).

Exercice 3.(5 points : [1+1,5]+0,5+2)

Soit X et Y deux espaces de Banach et T: X → Y une application linéaire continue.

1) a) Montrer que siT(X)est dense dans Y, alors l’adjointT^∗:Y^∗ →X^∗ deT est injectif.

b) Réciproquement, montrer que si T^∗ est injectif, alors T(X) est dense dansY (utiliser une conséquence du Théorème de Hahn-Banach, ou bien sup- poser que T(X) n’est pas dense et utiliser directement le Théorème de Hahn- Banach).

2) Donner un exemple dans lequelT^∗ est injectif, maisT n’est pas surjectif (prendre, par exemple, X =L²([0,1])et Y =L¹([0,1]) ouX =c0 etY =`2).

3) Montrer que si T est surjectif, alors il existe une constante C >0 telle quekT^∗(ψ)k>Ckψkpour toute ψ∈Y^∗.

Exercice 4.(5 points : 1+0,5+1+1+[1+0,5])

1) Montrer que l’applicationf définie, pourx6= 0, parf(x) = sinx

x est dans L²(R)mais pas dansL¹(R).

2) On note g la fonction indicatrice 1I_[− 1

2π,_2π¹ ]. Calculer sa transformée de Fourier.

3) En déduire la transformée de Fourier-Plancherel de f (on notera que g∈L¹(R)∩L²(R)et que,f étant paire, on aFf =Ff).

4) Calculer(g∗g)(x)pourx∈R.

5) a) En déduire que la transformée de Fourier enxde la fonction intégrable h=f² estπ(1−π|x|)1I_[−¹

π,_π¹(x).

b) Donner la valeur dekfk2.

Exercice 5.(9 points : 1,5+[0,5+1+1]+1+0,5+[1,5+2])

SoitHun espace de Hilbert réel, etB:H×H →Rune forme bilinéaire continue (c’est-à-dire qu’il existe une constante C > 0 telle que |B(x, y)| 6 Ckxk kyk pour tous x, y ∈ H) et coercive (c’est-à-dire qu’il existe une constante a > 0 telle queB(x, x)>akxk² pour toutx∈H).

1) Montrer qu’il existe une application linéaire continueT:H →H telle que B(x, y) = (T x|y)pour tousx, y∈H.

2) a) Montrer quekT xk>akxk pour toutx∈H.

b) En déduire queT est injectif et que T(H)est fermé.

c) Montrer queT(H) =H.

3) Soit L: H →R une forme linéaire continue surH. Montrer qu’il existe un uniqueu∈H tel que B(u, y) =L(y)pour touty∈H.

On suppose maintenant queB estsymétrique.

4) Montrer que le produit scalaire défini parB surH induit une norme|k k|

équivalente surH.

5) On poseJ(v) =B(v, v)−L(v)pour toutv∈H.

SoitC une partie convexe fermée bornée deH. On posem= inf_v∈CJ(v).

a) Montrer qu’il existe une suite (vn)n>1 d’éléments deC qui est faible- ment convergente et telle quelim_n→+∞J(vn) =m.

b) Siv0=w−limn→+∞vn, montrer quev0∈C.

c) Montrer queJ(v0)6m(utiliser le fait queH est isomorphe à(H,|k k|), et donc qu’ils ont la même topologie faible), et en déduire queJ(v0) =m.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗