240 – Transformation de Fourier, produit de convolution. A.

(1)

240 – Transformation de Fourier, produit de convolution. A.

Le plan :

I) Produit de convolution.

Définition formelle. Inégalité de Young. L

¹*

L

¹

. Loi

*

. Structure d’algèbre de L

¹

. L

¹*

L

^p

. L

¹*

C

0

. L²

*

L². Suites régularisantes. Cas f dans C

0

, cas f dans L

^p

. Dérivation de L

^p*

C

0

. Densité de C

c∞

dans L

^p

. Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov. Applications en probabilités : densité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes. Exemple sur une loi normale.

II) Transformée de Fourier sur L

¹

.

Définition, espace d’arrivée. Propriétés : dérivée, convolution. Exemple. Formule sommatoire de Poisson. Formule d’inversion de la transformée de Fourier. Classe de Schwartz : bijection.

Applications en probabilités : fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Convergence en loi et caractérisation de la loi. Théorème de la limite centrale.

III) Transformée de Fourier-Plancherel.

Formule de Plancherel pour f dans L

¹

ח L². Densité de L

¹

ח L² dans L². Théorème de Plancherel. Bases hilbertiennes de L². Exemple des fonctions de Hermite. Vecteurs propres de la transformée de Fourier dans L².

Les développements :

B8 : Vecteurs propres de la transformée de Fourier B9 : Approximation régulière de fonctions L

^p

240 – Transformation de Fourier, produit de convolution. A.

240 – Transformation de Fourier, produit de convolution. A.

Le plan :

I) Produit de convolution.

Définition formelle. Inégalité de Young. L

L

. Loi

. Structure d’algèbre de L

. L

L

. L

C

. L²

L². Suites régularisantes. Cas f dans C

, cas f dans L

. Dérivation de L

C

. Densité de C

dans L

. Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov. Applications en probabilités : densité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes. Exemple sur une loi normale.

II) Transformée de Fourier sur L

.

Définition, espace d’arrivée. Propriétés : dérivée, convolution. Exemple. Formule sommatoire de Poisson. Formule d’inversion de la transformée de Fourier. Classe de Schwartz : bijection.

Applications en probabilités : fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Convergence en loi et caractérisation de la loi. Théorème de la limite centrale.

III) Transformée de Fourier-Plancherel.

Formule de Plancherel pour f dans L

ח L². Densité de L

ח L² dans L². Théorème de Plancherel. Bases hilbertiennes de L². Exemple des fonctions de Hermite. Vecteurs propres de la transformée de Fourier dans L².

Les développements :

B8 : Vecteurs propres de la transformée de Fourier B9 : Approximation régulière de fonctions L

La bibliographie :

[KoF]-[Far]-[Bré]-[BaL]-[ZuQ]-[BMP]