Analyse Fonctionnelle

Analyse Fonctionnelle

Mohammed Hassani

Universit´e Cadi Ayyad Faculte Polydisciplinaire de Safi´

D´epartement de Math´ematiques et Informatique

2019—2020

Chapitres 0

Introduction

Préface

Ce polycopie d’analyse fonctionnelle est destiné aux étudiants de licence en mathématiques et applications SMA. Il est rédigé à ma façon toute en gardant le livre de H. Brezis : « Analyse fonctionnelle, Théorie et applications. » à la portée de ma main.

Le but de ce cours est de donner des notions et des théorèmes topologiques et algébriques abstraits qui constituent des outils mathématiques essentiels pour entamer les cycles d’études supérieurs. La partie la plus importante à mon égard est la

construction de la topologie à partir d’une famille de semi normes,

je conseille le lecteur de se focaliser sur ce point.

Bibliographie

H. Brézis : Analyse fonctionnelle théorie et applications Masson fr Paris 1983 Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise.

Hervé Queffélec, Josette Charles, Mostafa Mbekhta : Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs Rappels de cours et exercices corrigés. Collection : Sciences Sup, Dunod.

Yves Sonntag : Topologie et analyse fonctionnelle : Cours de Licence avec 240 exercices et problèmes corrigés 1998.

J. Dieudonné : Éléments d’analyse. T. I -fondements de l’analyse moderne Gauthier-Villars fr Paris 1968.

F. Riesz, B. Nagy : Leçons d’analyse fonctionnelle, Akademiai Kiadohu Budapest 1955 Acadmie des Sciences de Hongrie.

S. Banach : Théorie des opérations linéaires, Chealsea publishing company.

S. Lang : Analysis II Addison-Wesley publishing company us Massachusetts 1969 Addison-Wesley series in mathematics.

W. Rudin : Analyse réelle et complexe, édition Masson, 1975 (le monument).

Encore je le dis, la littérature est très riche sur ce sujet. Il suffit de faire une recherche sur le net pour avoir gratuitement des polycopiés (de cours et d’exercices) de différents auteurs répondant à tous les goûts.

Pré-requis

La théorie des ensembles (la théorie ZFC, pour les courageux), la topologie générale (définition de topologie, continuité,

convergences, compacité...), algèbre (espaces vectoriels, base

algébrique, dimension) ... sont très sollicités dans ce cours.

Avertissements

!

Je tiens à préciser que ce document contient probablement des erreurs de frappes (ce n’est pas grave !) et des erreurs de

mathématiques (par contre çà c’est grave !) qui ont échappé à ma

vigilance. Ne l’utilisez qu’avec un œil critique et n’hésitez pas à me

signaler ces problèmes : [email protected].

Plan général

Chapitres 1 :Théorème de Hahn-Banach &

Théorème de Baire

1 Théorème de Hahn-Banach, forme analytique 2 Théorème de Hahn-Banach, formes géométriques 3 Espaces de Baire

Chapitres 3 :Théorèmes classiques d’analyse fonctionnelle

7 Banach-Steinhaus 8 Application ouverte 9 Graphe fermé

Chapitres 2 :Espaces vectoriels topologiques (evt)

4 Espaces vectoriels topologiques – evt 5 EVT localement convexe – evtlc 6 Espaces de Fréchet

Chapitres 4 :Topologies faibles-Espaces réflexifs

10 Topologie faible 11 Topologie faible étoile 12 Espaces réflexifs

Chapitres 1

Théorème de Hahn-Banach

& Théorème de Baire

Plan de ce chapitre

1

Théorème de Hahn-Banach, forme analytique

2

Théorème de Hahn-Banach, formes géométriques

3

Espaces de Baire

1 Théorème de Hahn-Banach, forme analytique

Théorème 1.1 (

Le théorème de Hahn-Banach, forme analytique) SoientEunR-espace vectoriel,p:E→R^{telle que}

∀t>0,∀x∈E, p(tx) =tp(x) et ∀x,y∈E, p(x+y)6^p(x) +p(y), GunR-sous-espace vectorieldeEetguneR-forme linéairesurG

satisfaisant

g(x)≤p(x), ∀x∈G.

Alors il existe uneR-forme linéairefsurEquiprolongeget qui satisfait f(x)≤p(x), ∀x∈E.

La démonstration de ce théorème fait appel au célèbre lemme de

Définition

Définition 1.2

Soit A un ensemble muni d’une relation d’ordre (pas

nécessairement totale) notée ≤ . On dit qu’un sous-ensemble B ⊂ A est totalement ordonné si pour tout couple a , b de B on a soit a ≤ b ou b ≤ a.

Soit B ⊂ A ; on dit qu’un élément c ∈ A est majorant de B si pour tout a ∈ A on a : a ≤ c.

On dit que m ∈ A est un élément maximal de A si pour tout x ∈ A tel que m ≤ x ⇒ x = m.

On dit que A est inductif si tout sous-ensemble totalement

ordonné de A admet un majorant.

Lemme de Zorn

Lemme 1.3 (ZORN)

Tout ensemble ordonné, inductif, non vide, admet un élément maximal.

Remarque

! Le lemme de Zorn ou ses équivalents (l’axiome du choix en particulier) admet des belles conséquences parfois qui échappent à notre intuition et donne même des paradoxes : paradoxe de

Banach-Tarski. Je renvoi le lecteur au fascicule d’exercices corrigés

de ce module pour plus de détails sur les conséquences de ce

Preuve du théorème 1.1 I

Désignons parVl’ensemble des couples(M, ϕ),oùMest un sous-espace vectoriel deE contenantG,ϕune forme linéaire surMvérifiantϕ(x)≤p(x),∀x∈Metϕ_|G=g.

On munitVde l’ordre≤défini par

(M, ϕ)≤(N, ψ)⇔M⊂N etψ|M=ϕ.

On montre d’abord queVest inductif pour≤non vide : D’abord,(g,G)∈V. Soit(Mi, ϕi)i∈Iune famille totalement ordonnée. Si on poseM=∪i∈IMi,il est facile de vérifier queMest un sous-espace vectoriel deE,qu’il existe une fonctionϕ:M→Rqui prolonge chacune desϕiet queϕest linéaire. De plus, pour toutx∈M, il existe uni∈Itel quex∈Mi,ϕ_|G=get on a ϕ(x) =ϕi(x)≤p(x). Donc(M, ϕ)appartient àVet est dansVla borne supérieure de la famille (Mi, ϕi)i∈I.

D’après le lemme deZorn,(V,≤)admet un élément maximal(M,f). Il suffit donc de démontrer que cet élément maximal satisfaitM=Epour finir la démonstration. Supposons donc par l’absurde qu’il existe una∈E\M. On va construire alors un élément(N, ϕ)deVqui majore strictement(M,f). On pose pour celaN=M⊕R.a, on choisitα∈Ret on définit la forme linéaireϕsurNparϕ(x+ta) =f(x) +tα.Il suffit donc de montrer qu’on peut choisirαde sorte que l’on aitf(x) +tα≤p(x+ta),pour toutxdeMet toutt∈R^(ainsi(N, ϕ)∈V).

La condition précédente est satisfaite pourt=0 et quel que soitx∈M.Pourt>0 cette condition est équivalente à la conditionf(^x

t) +α≤p(^x

t+a),et puisquex

t ∈M,équivalente à α≤p(y+a)−f(y)pour touty∈M.

Preuve du théorème 1.1 II

Enfin, pourt<0,la condition précédente est équivalente àf(−^x

t)−α≤p(−^x t−a), autrementα≥ −p(y−a) +f(y)pour touty∈Mpuisque−^x

t ∈M.On choisit doncαtel que : sup

y∈M

f(y)−p(y−a)≤α≤ inf

x∈Mp(x+a)−f(x), ce qui est possible si, pour toutx,y∈M,on a :

f(y)−p(y−a)≤p(x+a)−f(x).

Or pourx,y∈Mon a :

f(x) +f(y) =f(x+y)≤p(x+y)≤p(x+a) +p(y−a).

On obtient

sup

y∈M

f(y)−p(y−a)≤ inf

x∈Mp(x+a)−f(x).

Ce qui prouve l’existence deα.

Dual Topologique

Dans ce qui suit, on désigne par E

⁰

le dual (topologique) de l’espace vectoriel normé E, i. e. l’espace des formes linéaires continues sur E; E

⁰

est muni de la norme duale

k f k

E⁰

:= sup

kxk≤1

| f ( x )| = sup

kxk≤1

f ( x ).

Lorsque f ∈ E

⁰

et x ∈ E on notera parfois h f , x i au lieu de f ( x ) ; on dit

que h, i est le produit de dualité entre E

⁰

et E.

Conséquences

Corollaire 1.5

Soit G un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel normé ( E , k · k) et soit g : G → R une application linéaire et continue de norme

k g k

G⁰

:= sup

x∈G kxk≤1

| g ( x )|.

Alors il existe f ∈ E

⁰

qui prolonge g et tel que :

k f k

E⁰

= k g k

G⁰

.

Conséquences

Corollaire 1.6

Pour tout x

0

∈ E il existe f

0

∈ E

⁰

tel que k f

₀

k = k x

₀

k et h f

₀

, x

₀

i = k x

₀

k

²

.

Démontration :

Il suffit d’appliquer le corollaire précédent avecG=R^xetg(tx0) =tkx0k²de sorte que kgkG0=kx0k.

Conséquences

Corollaire 1.7

Pour tout x ∈ E \ { 0 } , on a : k x k

_E

= sup

kfk_E0≤1

|h f , x i| = max

kfk_E0≤1

|h f , x i| = max

kfk_E0=1

h f , x i.

Démontration :

Il est clair que

sup

kfk_E0 ≤¹

|hf,xi| ≤ kxk.

D’après le corollaire précédent, on sait qu’il existef0∈E⁰tel quekf0k=kxkethf0,xi=kxk².

−1

2 Théorème de Hahn-Banach, formes géométriques

Définition 2.1

On appelle hyperplan tout sous ensemble deEde la forme : H:={x∈E: f(x) =α}

oùfest une forme linéaire surE,non identiquement nulle etα∈R.On dit queHest l’hyperplan d’équation[f=α].

Définition 2.2 SoitA,B∈ P(E).

On dit que l’hyperplanH= [f=α]sépareAetBau sens large si∀a∈A,∀b∈B f(a)6α6^f(b).

On dit que l’hyperplanH= [f=α]sépareAetBau sens strict si il existeε >0 tel que∀a∈A,∀b∈B

f(a) +ε6α6^f(b)−ε.

Propriétés I

Proposition 2.3

SoitEest un espace vectoriel normé, alors

l’hyperplan d’équation[f=α]est fermési et seulement sifest continue.

Preuve :

Sifest continue alorsH=f⁻¹({α})est fermé.

Réciproquement, supposons queHest fermé. Le complémentaireC^HdeHdansEest ouvert et non vide (puisquef6=0E0). Soitx0∈C^Het supposons sans perdre de généralité quef(x0)< α. Soitr>0 tel que

B(x0,r) :={x∈E: kx−x0k<r} ⊂C^H. On a

f(x)< α, ∀x∈B(x0,r).

Supposons qu’il existex1∈B(x0,r)tel quef(x1)> α.La boule étant convexe, donc

Propriétés II

par suitef((1−t)x0+tx1)6=α,∀t∈[0,1].Ce qui est faut puisque pourt1,2= ^f(x1)−α f(x1)−f(x0), on a :f((1−t1,2)x0+t1,2x1) =α.Par suite,

f(x0+rz)< α,∀z∈B(0,1).

Ce qui prouve quekfk ≤¹

r(α−f(x0))et doncfest continue.

u t

Théorème De Hahn-Banach, première forme géométrique

Théorème 2.4 (

Théorème De Hahn-Banach, première forme géométrique)

Soit A, B deux sous ensembles convexes de E, non vides et disjoints. Si A est ouvert alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens large.

La démonstration de ce théorème est basée sur le lemme suivant :

Lemme

Lemme 2.5

SoitC⊂Eun convexe ouvert non vide et soitx₀∈Eavecx₀∈/C.Alors il existef∈E⁰tel quef(x)<f(x₀),∀x∈C.En particulier l’hyperplan d’équation[f=f(x₀)]sépare{x₀}etCau sens large.

Preuve :

Par translation, on peut toujours supposer que 0E∈Cet considéré la jauge deCqu’on note par pCdéfinie par

PC: E −→ R+∪ {+∞}

x 7−→ inf{t>0; ¹_tx∈C} avecinf∅= +∞.

On montre (en exercice !) que

∀t>0,∀x∈E, pC(tx)6^tpC(x)<∞,∀x,y∈E,pC(x+y)6^pC(x) +pC(y)et C={x∈E|C(x)<1}.

On poseG:=vect(x0) =R.x0et on considère la forme linéairegsurGdéfinie par pour tout t∈R:

g(tx0) :=t.

On ag(x)≤pC(x),∀x∈G(il suffit de distinguer les cast>0 ett≤0). Grâce au théorème de Hahn-Banach, forme analytique, il existefune forme linéaire surE, prolongeantgtelle que

Revenons au théorème 2.4

Preuve (du théorème 2.4)

On pose C = A − B. C un convexe (facile), C est ouvert

(C = ∪

y∈B

( A − y ) ) et 0 ∈ / C (car A ∩ B = ∅ ). D’après le lemme 2.5 il existe f ∈ E

⁰

tel que : f ( z ) < 0 , ∀ z ∈ C, autrement

f ( x ) < f ( y ), ∀ x ∈ A , ∀ y ∈ B . On fixe α ∈ R ^avec

sup

x∈A

f ( x ) ≤ α ≤ inf

y∈B

f ( y ),

ce qui montre que l’hyperplan d’équation [ f = α] sépare au sens

large A et B. u t

Théorème De Hahn-Banach, deuxième forme géométrique

Théorème 2.6 (

Théorème De Hahn-Banach, deuxième forme géométrique) SoitA,Bdeux sous ensembles convexes deE, non vides et disjoints. SiAest fermé etB est compact alors il existe un hyperplan fermé qui sépareAetBau sens strict.

Preuve :

Pourε >0 tel que les sous ensembles convexes, ouverts et non videsAε:=A+B(0, ε)et B_ε=B+B(0, ε)soient disjoints (cetεexiste sinon, il existera des suites

(εn)n∈N→0,(xn)n∈N∈Aet(yn)n∈N∈Btelles quekxn−ynk<2εn;ce qui nous donnera une suite extraite(y_ϕ(n))n∈Nqui converge vers un élémenty∈A∩B.D’après le théorème précédent, il existe un hyperplan fermé d’équation[f=α]séparantAεetBεau sens large. Ce qui se traduit par :

f(x+εz)≤α≤f(y+εz),∀(x,y)∈A×B,z∈B(0,1).

Il en résulte que :

f(x) +εkfk ≤α≤f(y)−εkfk,∀(x,y)∈A×B.

Exercice

Dans l’exercice suivant, on montre que les hypothèses des théorèmes de Hahn-Banach (forme géométrique 1 et 2) sont optimales.

Exercice 2.7

SoitE=R[X]l’espace des polynômes surR,muni de la normesupsur[0,1].Soit

R[X]⁺:={P∈E: P(X) =

n

X

i=1

aiXⁱ, avec an>0}

et

R[X]⁻:={P∈E: P(X) =

n

X

i=1

aiXⁱ, avec an<0}.

1 Montrer queR[X]⁺etR[X]⁻sont convexes et disjoints.

2 Montrer qu’il n’existe pas d’hyperplan qui sépareR[X]⁺etR[X]⁻.

Un critère de densité

Corollaire 2.8

Soit F ⊂ E un sous-espace vectoriel tel que F 6= E . Alors il existe f ∈ E

⁰

\ { 0

E⁰

} tel que :

h f , x i = 0 , ∀ x ∈ F .

Preuve :

Soitx0∈E,x0∈/F.On applique le théorème précédent avecA:=FetB:={x0}.Il existe f∈E⁰\ {0_E0}tel que l’hyperplan[f=α]sépare au sens strictFet{x0}.On a :

hf,xi< α <hf,x0i,∀x∈F.

Ce qui implique quehf,xi=0,∀x∈F,puisqueλhf,xi< α,∀λ∈R.

Remarques

Remarque

D’après ce corollaire, on conclut qu’un sous-espace vectoriel F de E est dense si ∀ f ∈ E

⁰

: f |

F

= 0 ⇒ f = 0

E⁰

.

Remarque

D’après le théorème de Hahn-Banach, on a : si E est un espace

normé E 6= { 0

E

} alors E

⁰

6= { 0

_E⁰

} , grâce aux corollaires 1.6 et 1.7.

Exemple I

Dans cet exemple classique, on montrer que siEn’est pas un espace normé (n’est pas un evtlc !) cette affirmation n’est plus vraie.

Exemple :

SiE=L^p([0,1]), 0<p<1,muni de la distance :

d(f,g) = Z1

0

|f(t)−g(t)|^pdt,

alorsEest un espace métrique complet,E6={0E}par contreE⁰={0

E0}.

Soitϕ∈E⁰.Alorsϕ:L^p([0,1])→Rest linéaire et continue.

Supposons queϕ6=0.

On a doncIm(ϕ) =R.Par suite, il existe unf0∈Etelle que|ϕ(f0)| ≥1. SoitFla fonction continue définie par :F(x) =Rx

0|f0(t)|^pdt.Puisque1

2F(1)∈[0,F(1)],par le théorème des valeurs intermédiaires, il existex0∈[0,1]tel queF(x0) = ¹

2F(1)autrement Zx0

0

|f0(t)|^pdt=¹ 2

Z1 0

|f0(t)|^pdt>0.

Soitg1=f0χ_[0,x

0]etg2=f0χ_]x

0,1].Alorsg1+g2=f0et|f0|^p=|g1|^p+|g2|^p,et de plus on a : Z1

|g(t)|^pdt= Zx0

|f(t)|^pdt=¹ Z1

|f(t)|^pdt

Exemple II

et donc

Z1 0

|g2(t)|^pdt=¹ 2

Z1 0

|f0(t)|^pdt.

Puisque|ϕ(f0)| ≥1 alors|ϕ(g1)| ≥¹

2ou|ϕ(g2)| ≥ ¹ 2 En effet : Si|ϕ(g1)|< ¹

2et|ϕ(g2)|<¹ 2alors

1≤ |ϕ(f0)|=|ϕ(g1) +ϕ(g2)| ≤ |ϕ(g1)|+|ϕ(g2)|<¹ 2+¹

2=1 ce qui absurde.

Supposons|ϕ(g1)| ≥¹

2et posonsf1=2g1.On a|ϕ(f1)| ≥1 et Z1

0

|f1(t)|^pdt=2^p Z1

0

|g1(t)|^pdt=2^p−1 Z1

0

|f(t)|^pdt.

De la même façon, par itération, on conclutfn∈Etelle que

Z1 Z1

Exemple III

Commep<1 on aura 2^p−1<1.D’où

n→+∞lim d(fn,0) =0.

Commeϕest continue, on obtient que : lim

n→+∞ϕ(fn) =0 ce qui absurde puisque|ϕ(fn)| ≥1.

Doncϕ=0.Par conséquent(L^p([0,1]))⁰={0}.

3 Espaces de Baire

Définition 3.1

Un espace topologique ( E , T ) est dit de Baire si pour toute suite d’ouverts (Θ

n

)

n

dense dans E, T

n

Θ

n

est dense dans E i.e.

∀ (Θ

_n

)

_n

∈ T

^N

, ∀ n ∈ N , Θ

_n

= E

= ⇒ \

n

Θ

_n

= E .

Remarque

( E , T ) est de Baire si et seulement si pour toute suite de fermés ( F

_n

)

_n

telle que ∀ n , F

^◦_n

= ∅ , on a int ( S _F

n

) = ∅ .

Propriétés

Proposition 3.3

Soit ( E , T ) un espace de Baire et ( F

n

)

n∈N

une suite de fermés tels que ∪

_n∈N

F

_n

= E. Alors Ω = ∪

_n∈N

F

^◦_n

est un ouvert dense dans E .

Démontration :

SoitGle ferméE\(∪n∈N

◦

Fn). Il s’agit de montrer queGest d’intérieur vide.

Pour toutn∈N,le ferméG∩Fnest d’intérieur vide carint(G∩Fn)⊂G∩ F^◦n=∅, et comme (E,T)est un espace de Baire,

∪n∈N(G∩Fn) =G∩[∪n∈NFn] =G∩E=G

est d’intérieur vide.

Remarque

Remarque

Si ( E , T ) est un espace de Baire non vide, alors E ne peut pas être

réunion dénombrable de fermés d’intérieurs vides.

Théorème de Baire

Théorème 3.5 (Théorème de Baire)

1. Tout ouvert d’un espace de Baire est de Baire.

2. Tout espace métrique complet est de Baire (théorème de Baire).

3. Tout espace localement compact est de Baire.

Preuve I

Démontration :

1. Soit(E,T)un espace de Baire, soitA∈ T (ouvert deE). Soit(θn)nune suites d’ouverts de (A,TA=A∩ T)denses dansA(c-à-dθn∈ T etθn⊂A⊂θn). Posonsθ=∩nθn(⊂A). Il suffit de montrer queA⊂θ(la fermeture dansE).

PosonsWn=θn∪A^c, on aWn∈ Tet E⊂A∪ Ac

⊂θn∪ Ac

⊂Wn⊂E. Puisque(E,T)est de Baire,

E=∩nWn=θ∪A^c=θ∪ Ac

, donc

A= A∩θ

∪ A∩ Ac

| {z }

=∅,carA⊂A

=A∩θ. AinsiA⊂θ.

2. Soit(E,d)un espace métrique complet. Soit(θn)_n∈N∗une suite d’ouverts denses dans(E,d). Notonsθ=∩nΘnet montrons queθ=Ece qui est équivalent à montrer que toute boule ouverte non vide rencontreθ.

SoitB(x0,r0)une boule ouverte de centrex0∈Eet de rayonr0>0. On aB(x0,r0)∩θ1est un ouvert non vide (carθ est dense) donc il existex ∈Eetr ∈]0,1[tels que la boule fermée

Preuve II

ri∈]0,¹_n[etBf(xi,ri)⊂B(xi−1,ri−1)∩θi. Puisqueθn+1est dense dansEalors il existexn+1∈E etrn+1∈]0,_n+¹₁[tels que

Bf(xn+1,rn+1)⊂B(xn,rn)∩θn+1.

On a ainsi construit par récurrence la suite(xn,rn))ndansE×]0,+∞[telle que pour toutn∈N^∗, rn<¹_netBf(xn,rn)⊂B(xn−1,rn−1)∩θn.

En particulier, la suite(Bf(xn,rn)))n∈N^∗est une suite décroissante de fermés de diamètres qui converge vers 0 dans l’espace complet(E,d). Donc

\

n∈N∗

Bf(xn,rn)6=∅ par conséquentθ∩B(x0,r0)P∅.

3. Soit(E,T)un espace localement compact. Soit(θn)_n∈N∗une suite d’ouverts denses dans (E,T). Notonsθ=∩nΘnet montrons queθ=Ece qui est équivalent à montrer que tout ouvert VdeEnon vide rencontreθ.

En utilisant la densité desθnet que(E,T)est localement compact, nous construisons ar récurrence une suite de compacts d’intérieurs non vides(Kn)n∈N∗deEtelle que

∀n>1,Kn⊂^◦Kn−1∩θnetK1⊂V∩θ1. Ainsi(Kn)_n∈N∗est une suite de compacts non vides décroissante, doncT

nKn6=∅. Par conséquent,θ∩V6=∅.

Conséquences

Corollaire 3.6

R n’est pas dénombrable.

Démontration :

SinonR=S

x∈R{x}est une réunion dénombrable des fermés pour la topologie usuelle associée à la distance usuelled(x,y) =|x−y|, mais(R,d)est complet donc il est de Baire. Ceci donne en particulier queR=

◦

R=∅puisque∀x∈R,

◦

{x}=∅. Absurde.

Conséquences

Corollaire 3.7

Tout espace de Banach à base dénombrable est de

dimension finie, par exemple on n’a pas de norme sur R [ X ] qui le rend complet.

Démontration :

Supposons qu’il existe un espace de Banach à base dénombrable est de dimension infinie.

Soit donc(en)n∈N∗une base deE.Pour tout entier natureln,on pose Fn:=vect(e1,e2,· · ·,en)

Pour toutn∈N^∗,le sous-espaceFnest de dimension finie donc fermé ; de plus Pour toutn∈N^∗, le sous-espaceFnest d’intérieur vide car si une boule ouverteB(x0,r)est inclue dansFn(avec r>0), alorsx0∈Fnetx0+_2|| ^r

en+1||en+1∈Fnpar suiteen+1∈Fn, ce qui est absurde.

D’après le théorème de Baire,∪n≥1Fnest d’intérieur vide dansEce qui est absurde car

∪n≥1Fn=E.

Définition

Définition 3.8

1

On dit que A est résiduel si elle contient une intersection dénombrable d’ouverts denses dans E .

2

On dit que A est maigre si elle est contenue dans une

réunion dénombrable de fermés de E d’intérieurs vides.

Conséquences I

Corollaire 3.9

Soient(E,T)un espace de Baire et(F,d)un espace métrique. On considère une suite(fn)n∈Nd’applications continues deEdansF, convergeant simplement vers une applicationfdeEdansF. Alors

fest continue sur une partie dense deE.

C-à-d l’ensemble des points oùfsont continues est un résiduel.

Démontration :

Pourn,k∈N^{, on pose}

Fk,n:= \

p,q>ⁿ

{x∈E: d(fq(x),fp(x))6 ¹ 2^k}.

On aFk,nest un fermé deEcar l’intersection des fermés est un fermé et l’image réciproque d’un fermé par une fonction continue est fermé. On a aussi, puisquefnconverge simplement versf,

∀k∈ , E=[ F .

Conséquences II

D’après la proposition 3.3

Ωk def= [

n∈N

◦

Fk,n est un ouvert dense dansE.

PosonsΩ^def=T

k≥∈NΩk. On aΩest dense dans(E,T)puisque ce dernier est de Baire. Montrons quefest continue surΩ, pour cela soitx0∈Ωet soitε >0. Considérons un entierk0tel que

1

k0 < ^ε₃ etn0un entier tel quex0∈^◦Fk0,n0. Soitx∈^◦Fk0,n0⊂Fk0,n0, on a∀p>ⁿ0,

d(fp(x),fp(x0))6^d(fp(x),fn0(x0))+d(fn0(x),fn0(x0))+d(fn0(x0),fp(x0))6 ² k0

+d(fn0(x),fn0(x0)).

En tendantp→ ∞, on obtient

∀x∈^◦Fk0,n0, d(f(x),f(x0))6 ² k0

+d(fn0(x),fn0(x0)).

D’autre part, la continuité defn0enx0implique l’existence d’un ouvertWdeEcontenantx0tel

Conséquences III

Ainsi,

∀x∈W∩^◦Fk0,n0, d(f(x),f(x0))6 ³ k0

< ε.

Exercice

Exercice 3.10

1. Montrer que 1

_Q

n’est pas limite simple d’une suite de fonction continues de R ^dans R ^.

2. Calculer lim

p→+∞

lim

n→+∞

(cos π p ! x )

²ⁿ

.

Conséquences

Corollaire 3.11

Soit f : R → R une fonction dérivable sur R . Alors la fonction dérivée f

⁰

est continue sur un ensemble dense de R ^.

Démontration :

Il suffit de considérer la suite des fonctions fn: R −→ R

x 7−→ n f(x+¹_n)−f(x)

qui est une suite de fonctions continues qui converge versf⁰et puisqueRest de Baire et métrique, on d’après le corollaire précédent que la fonction dérivéef⁰est continue sur un ensemble dense deR^.

Chapitre 2

Espaces vectoriels topologiques – evt

Dans la suiteK^{est un}corps commutatif(souvent l’un des deux corpsC^ouR^{et parfois}Q^).

(E,+,·)désignera unK-espace vectoriel etT une topologie surE. On prendre aussi comme notationD={t∈K ; |t|6¹}(Dpour disque).

Plan de ce chapitre

4

Espaces vectoriels topologiques – evt

5

EVT localement convexe – evtlc

6

Espaces de Fréchet

Notation

Soit A et B deux partie des E, a ∈ A, t ∈ K ^et Λ ⊂ K ^. Notation

a + B = { a + b ; b ∈ B } , A + B = { a + b ; a ∈ A et b ∈ B } ,

tA = { ta ; a ∈ A } et Λ A = { ta ; t ∈ Λ et a ∈ A } .

Définition

Définition 4.2

On dit queA

1. est un sous espace vectoriel deEsiAhérité des lois de compositions deEest un espace vectoriel ce qui équivalent à dire queA6=∅et vérifie∀t∈K^,∀x,y∈A, on a tx+y∈A.

2. est un sous espace affine deEs’il existea∈Atel queA−aest un sous espace vectoriel deE.

3. est convexe si∀x,y∈A,[x,y]^def={tx+ (1−t)y;t∈[0,1]} ⊂A.

4. est équilibrée si∀t∈D,∀x∈A, on atx∈A, i.e.DA=A.

5. absolument convexe s’il est à la fois convexe et équilibrée.

6. absorbeBs’il existeα >0 tel que∀λ∈K,|λ|>α =⇒ B⊂λA.

7. absorbant si∀x∈E,Aabsorbe{x}.

Remarque

Remarque

Tout sous espaces affines est convexe.

Propriétés

La propriété suivante est fondamentale malgré sa simplicité soit en son énoncé soit en sa démonstration. On la rencontre en topologie, en intégration et maintenant en analyse fonctionnelle (en algèbre en réalité). Elle est vraie pour pas mal de familles (topologies, tribus, sous groupes ...)

Proposition 4.4

L’intersection quelconque de sous espaces vectoriels (resp. sous espaces affines, resp. de parties convexes, resp. de parties équilibrées, resp. de parties absolument convexes) deEest un sous espace vectoriel (resp. un sous espaces affine, resp. une partie convexe, resp. une partie équilibrée, resp. une partie absolument convexe).

Démontration :

Évidente

Remarque

Remarque

DA est la plus petite partie équilibrée de E contenant A.

Remarque Importante

! La proposition précédente justifie l’existence de « le plus petit

truc » contenant une partie A de E et est dit le truc engendré par A

avec truc l’une des phrases « sous espace vectoriel », « sous espace

affine », « convexe », « équilibré » ou « absolument convexe ». C’est

l’intersection (qui est non vide, contient E) des tous « trucs » qui

contient A.

Définitions

Définition 4.6 (et notations)

1. Le sous espace vectoriel engendré par A est dit

l’enveloppe linéaire de A, il est noté Vect

_K

( A ) ou Span

_K

( A ) ou simplement Vect ( A ) , si on ne craint pas la confusion.

2. Le convexe engendré par A est dit l’enveloppe convexe de A, il est noté co ( A ) .

3. L’ensemble absolument convexe engendré par A est dit

l’enveloppe absolument convexe de A, il est noté aco ( A ) .

4. Le sous espace affine engendré par A est dit l’enveloppe

affine de A, il est noté Aff

_K

( A ) ou simplement Aff ( A ) , si on ne

craint pas la confusion.

Propriétés

Proposition 4.7

co ( A ) ⊂ aco ( A ) ⊂ Aff ( A ) = a + Vect ( A − a ) ⊂ Vect ( A ) = Aff ( A ∪{ 0 }) avec a ∈ A.

Preuve

En exercice.

Théorème

Théorème 4.8 Soit x ∈ E

X ^x ∈ Vect ( A ) ⇐⇒

∃ n ∈ N

^∗

, ∃ t

₁

, t

₂

, ··, t

_n

∈ K , ∃ x

₁

, x

₂

, ··, x

_n

∈ A tel que x = t

₁

x

₁

+ · · + t

_n

x

_n

.

X ^x ∈ aco ( A ) ⇐⇒

∃ n ∈ N

^∗

, ∃ t

1

, t

2

, ··, t

n

∈ K , ∃ x

1

, x

2

, ··, x

n

∈ A tel que

( x = t

₁

x

₁

+ · · + t

_n

x

_n

| t

1

| + · · +| t

n

| 6 ¹ . X ^x ∈ co ( A ) ⇐⇒

∃ n ∈ N

^∗

, ∃ t

1

, t

2

, ··, t

n

∈ [ 0 , 1 ], ∃ x

1

, x

2

, ··, x

n

∈ A tel que

( x = t

₁

x

₁

+ · · + t

_n

x

_n

t + · · + t = 1 .

Preuve

Démontration :

Facile et par une méthode maintenant standard (méthode qu’on a vu en intégration ...). Posons F={x∈E| ∃n∈N^∗, ∃t1,t2,··,tn∈K, ∃x1,x2,··,xn∈Atel quex=t1x1+· ·+tnxn}puis on montreFest un sous espace vectoriel contenantAce qui donne queVect(A)⊂F, l’autre inclusion est triviale.

Faites la même chose pour les autres implications.

Définitions

Définition 4.9

Une application p : E −→ [ 0 , +∞[ est une semi norme si ( i )∀ t ∈ K , ∀ x ∈ E , p ( tx ) = | t | p ( x )

ii )∀ x , y ∈ E , p ( x + y ) 6 ^p ( x ) + p ( y ).

Elle est une norme si de plus elle vérifie iii ) p ( x ) = 0 ⇐⇒ x = 0.

Exercice 4.10

Soit p une semi norme sur E, montrer que B

0

def

= { x ∈ E ; p ( x ) < 1 } et B

f

def

= { x ∈ E ; p ( x ) 6 ¹ } sont

jauge ou fonction de Minkowski

Définition 4.11 (jauge ou fonction de Minkowski)

Soit A une partie de E telle que { t > 0 | x ∈ tA } 6= ∅ (e.g. A absorbante). On appelle fonction de Minkowski ou la jauge de la partie A dans E la fonction p

A

définie par

p

A

: E −→ [ 0 , +∞[

x 7−→ inf{ t > 0 | x ∈ tA }

Un théorème

Théorème 4.12

Si A est une partie absorbante et absolument convexe alors sa jauge p

A

est une semi norme telle que

B

o

def

= { x ∈ E ; p ( x ) < 1 } ⊂ A ⊂ B

f

def

= { x ∈ E ; p ( x ) 6 ¹ }

Voir TD.

Quelques notions et notations topologiques

Pour cette sous section je renvoi le lecteur au cours de la topologie générale du semestreS5. Cependant je vous rappelle que la fermeture ou l’adhérence deAnotée Aest le plus petit fermé de l’espace topologique(E,T)contenantAc’est

l’intersection de tous les fermé contenantA. L’intérieur deA,noté

◦

AouintE(A), est le complémentaire dansEde la fermeture du complémentaire deAi.e.

◦ A=E\

E\A

c’est le plus grand ouvert inclut dansA.

Dans ce module on utilisera les notions (topologiques) de compacité,

d’homéomorphisme, de topologie métrisable ... une révision du cours de topologie est fort utile.

Définition

Définition 4.13

On dit que ( E , +, ·, T ) ou simplement ( E , T ) est un espace vectoriel topologique (evt pour écrire simple) si les deux fonctions

ψ : E × E −→ E

( x , y ) 7−→ x + y

et φ : K × E −→ E

( t , y ) 7−→ t · y = ty

sont continues en prenant les topologies produits sur les

ensembles de départs et en prenant la topologie usuelle sur

R ^.

Propriétés

Proposition 4.14

1. Soit ( t , e ) ∈ K

^∗

× E, alors

h : E −→ E x 7−→ tx + e est un homéomorphisme.

2. ∀ x ∈ E, V

_E

( x ) = { x + V ; V ∈ V

_E

( 0 )} avec V

_E

( x ) est l’ensemble des voisinages de x.

3. Soit V ⊂ E,

V ∈ V

E

( 0 ) ⇐⇒ ∀ t ∈ K

^∗

, tV ∈ V

E

( 0 ) ⇐⇒ ∃ t ∈ K

^∗

, tv ∈ V

E

( 0 ).

4. Soit A ⊂ E,

A = \

V∈VE(0)

( A + V ) .

5. ( E , T ) est séparé si et seulement si { 0 } est fermé.

Mohammed Hassani Analyse fonctionnelle — S6 FP-Safi Dépt. de Maths & Info – SMA — S6 63/214

Décomposition des voisinages

Théorème 4.15

! Soit ( E , T ) un evt.

1. ∀ V ∈ V

_E

( 0 ) , V est absorbant.

2. ∀ V ∈ V

_E

( 0 ) , ∀ t ∈ K ^, ∃ W ∈ V

_E

( 0 ) tel que V est un

ouvert équilibré et W + tW ⊂ V (t = 1 est le cas le plus

important).

Preuve

Démostration :

1. Soitx∈E, on aφest continue en(0,x)donc il exister>0 etW∈ VE(x)tels que rDW=φ(rD×W)⊂V, en particulier∀s>¹r,{x} ⊂sV.

2. On aψest continue en(0,0)donc il existeU,U⁰deux voisinages de 0 dansEtels que U+U⁰=ψ(U,U⁰)⊂V. D’autres part la continuité deφen(0,0)assure l’existence d’un ouvert θdeEcontenant 0 et der>0 tels querDθ=φ(rD×θ)⊂U∩U⁰. Posons

(rDθ sit=0 (rDθ)∩ ^r_tDθ _sinon. On trouve queWest un ouvert équilibré contenant 0 etW+tW⊂V.

Conséquences

Par récurrence on a le corollaire suivant

Corollaire 4.16

Pour tout voisinage V de 0, pour tout entier n ∈ N

^∗

, il existe un ouvert équilibré θ contenant 0 tel que

θ + · · +θ

| {z }

nfois

⊂ V .

Propriétés

Proposition 4.17

Dans un evt ( E , T ) , 0 admet une base de voisinages fermés équilibrés.

Démostration :

Soitθ∈ VE(0). D’après le théorème 4.15 il existe un ouvert équilibréW∈ VE(0)tel que W+W⊂θdonc

W=∩V∈VE(0)(W+V)⊂W+W⊂θ.

Il reste à montrer queWest équilibré, en exercice et voir le TD.

Exercice

Exercice 4.18 (Voir aussi le TD)

1. Aéquilibré =⇒ Aetco(A)sont équilibrés. 2. Aéquilibré etA∈ VE(0) =⇒ ^◦Aest équilibré.

3. Aconvexe =⇒ AetA^◦sont convexe.

Définitions

Définition 4.19

Soit ( E , T ) un evt et A ⊂ E.

X ^{A est bornée}

si et seulement si ∀ V ∈ V

_E

( 0 ), ∃ t > 0 , tA ⊂ V.

X ^A est totalement bornée (ou pré-compacte)

si et seulement si ∀ V ∈ V

E

( 0 ), ∃ B

V

⊂ E tel que B

V

finie et

A ⊂ B + V.

Exercice

Exercice 4.20 (Voir aussi le TD)

1.Aest bornée etB⊂A =⇒ AetBsont bornées.

2.Aest pré-compacte etB⊂A =⇒ AetBsont pré-compactes.

3.Aest compacte =⇒ Aest pré-compacte=⇒ Aest bornée.

4.Aest un sous espace vectoriel deE =⇒ Aest un sous espace vectoriel deE.

5. SiAest un sous espace vectoriel deEtel queA^◦6=alorsA=E.

Propriétés

Proposition 4.21

Soit E et F deux evt et f : E → F une application linéaire. On a f est continue sur E ⇐⇒ f est continue en 0 .

Démostration :

=⇒)triviale.

⇐= )Soitx∈EetV∈ VF(f(x))donc il existe un voisinageWde 0 dansF(evt) tel que V=f(x) +Wd’oùf⁻¹(V) =x+f¹(W)∈ VE(x), puisquefest continue en 0 et donc f¹(W)∈ VE(0).

Remarque

Remarque

Soit E et F deux evt et f : E → F une application linéaire continue.

On a

i ) Si F est séparé alors le noyau de f Ker ( f )

^def

= f

⁻¹

({ 0 }) est fermé dans E.

ii ) Si B est une partie bornée (resp. pré-compacte) de E alors f ( A )

est bornée (resp. pré-compacte) dans F.

Un théorème utile

Théorème 4.23

Soit E un evt et Soit f : E → R une application telle que

∀ x , y ∈ E, ∀ t > 0

i ) f ( x + y ) 6 ^f ( x ) + f ( y ) et ii ) f ( tx ) = tf ( x ).

Alors

1)fest continue ⇐⇒ 2) (f<1)est un ouvert

⇐⇒ 3) (f<1)∈ VE(0)

⇐⇒ 4) (f6¹)∈ VE(0)

⇐⇒ 5)fcontinue en 0

⇐⇒ 6) ∃q:E→Rcontinue en 0 :f6^qsur un voisinageUde 0.

Preuve I

Démostration :

On remarque d’abord,f(0) =f(2×0) =2f(0)doncf(0) =0,

f(y)−f(x) =f(x+ (y−x))−f(x)6^f(y−x)et 0=f(x−x)6^f(x) +f(−x)donc

−f(x)6^f(−x).

On a 1) =⇒ 2) =⇒ 3) =⇒ 4)et 1) =⇒ 6)sont triviales.

4) =⇒ 5) :SoitV∈ V_R(0)donc il existeε >0 tel que]−ε, ε[⊂V. On a

ε(f61) = (f6ε)∈ VE(0), soitW∈ VE(0)équilibré tel queW⊂(f6ε)et pour toutx∈W, on a−x∈Wdoncf(x)6εetf(−x)6ε. Mais 0=f(x−x)6^f(x) +f(−x), d’où−f(x)6ε. Ainsif(x)∈]−ε, ε[⊂V. Doncfest continue en 0.

5) =⇒ 1) :Soitx∈Eet montrons quefest continue enx. Pour cela, soitV∈ VR(f(x))donc il existeε >0 tel quef(x) +ε]−1,1[=]f(x)−ε,f(x) +ε[⊂V. Orfest continue en 0 donc il existeW∈ VE(0)équilibré tel queW⊂f⁻¹(]−ε, ε[). Doncx+W∈ VE(x)et pour tout y∈x+W, on ay−x∈Wetx−y∈Wd’oùf(y−x)< εetf(x−y)< ε. Mais

|f(y)−f(x)|6^f(y−x)∨f(x−y)< ε, Ainsif(y)∈V.

6) =⇒ 1) :D’après l’équivalence de 1)et 5), il suffit de montrer quefest continue en 0. Soit V∈ VR(0)donc il existeε >0 tel que]−ε, ε[⊂V. Par suite il existeW∈ VE(0)équilibré tel que W⊂U∩q⁻¹(]−ε, ε[).

Soitx∈W, donc−x∈W,f(x)6^q(x)< εet−f(x)6^f(−x)6^q(−x)< ε. Ainsi

Un autre théorème utile

Théorème 4.24

Soit(E,T)un evtséparéde dimensionnsur le corpsK=C^ouR^{(et non}Q^{). Soit} (e1,··,en)une base (algébrique) deE. Alors l’application

h: Kⁿ −→ E

(t1,··,tn) 7−→ Pn i=1tiei

est un isomorphisme topologique (une application linéaire qui est une homéomorphisme). En particulier(E,T)est normable.

Remarque

Si on ne dit pas le contraire K

ⁿ

sera toujours muni de la norme

||( t

1

, ··, t

n

)|| = max{| t

1

|, ··, | t

n

|} .

Preuve I

Démostration :

On ahest linéaire bijective c-à-d isomorphisme algébrique (car(e1,··,en)une base deE). Il reste à montrer queheth⁻¹sont continues en 0=0_Knet 0=0Erespectivement.

X^SoitV∈ VE(0). Montrons queh⁻¹(V)∈ V_Kn(0):

SoitW∈ VE(0)tel queWest un ouvert équilibré etW+· ·+W

| {z }

nfois

⊂V.

D’autres part, les fonctionsαi:K→E, t7→teisont continues pouri=1· ·ncarαi=φ◦βi

avecβi:K→K×E, t7→(t,ei),φest continue (Eest un evt) etβiest continue (topologie produitsur l’ensemble d’arrivé et les fonctions coordonnées sont continues : l’identité et une fonction constante ).

En déduit queU=Tn

i=1 α⁻_i ¹(W)∈ V_K(0)etUⁿ=U× · · ×U

| {z }

nfois

⊂h⁻¹(V). D’où la continuité deh.

X^SoitV∈ V_Kn(0). Montrons que(h⁻¹)⁻¹(V) =h(V)∈ VE(0):

Soitr>0 tel queBr={t∈Kⁿ ; ||t||<r}=rB1⊂V, il suffit donc de montrer que h(B1)∈ VE(0).

On aS={t∈Kⁿ ; ||t||=1}est une partie compacte deK^ncarK=C^ouR^{(le cas}K=Q^ne marche pas !) et puisquehest continue etEestséparé, on obtienth(S)est compact et en particulierh(S)est fermé dansE, de plush(0) =0 donc 0∈U^def=E\h(S)qui est un ouvert deE.

Soit doncWun ouvert équilibré tel que