ANALYSE FONCTIONNELLE

Université d’Artois

Faculté des Sciences Jean Perrin

MASTER I Mathématiques-Informatique 2005–2006

ANALYSE FONCTIONNELLE

EXAMEN2^eme` session : durée : 4 heures mercredi 22 février 2006

Exercice 1.(fait en T.D.) (6 points : [1+1] + [1+1,5] + 1,5)

SoitH un espace de Hilbert etT:H →H une application linéaire continue de normekTk61.

1) a) Pour toutx∈H, montrer queT x=xsi et seulement si T x|x

=kxk² (utiliser le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz).

b) En déduire queker (I−T) = ker (I−T^∗).

2) a) Montrer que pour tout opérateurS surH, on a[Im (S)]^⊥ = ker (S^∗).

b) En déduire queH= ker (I−T)⊕Im (I−T)).

3) Pour toutn∈N, on pose :Tn = 1

n+ 1(I+T+· · ·+Tⁿ). Pour toutx∈H, montrer que lim_n→+∞Tn(x) = P(x), où P est la projection orthogonale sur ker (I−T)(on considèrera successivement les casx∈ker (I−T),x∈Im (I−T), etx∈Im (I−T)).

Exercice 2.(3 points : 1 + [1+1])

SoitH un espace de Hilbert séparable, et(en)n>1une base orthonormée deH. 1) Montrer que la suite(en)n>1converge faiblement vers0.

2) On suppose qu’il existe une distancedsurH définissant la topologie faible.

a) Montrer que pour tout entierk>1, il existexk∈H tel que kxkk=ket d(0, x_k)61/k (utiliser la question précédente).

b) Montrer que c’est impossible (on remarquera que la suite (x_k)_k converge faiblement vers0).

Exercice 3.(2 points)

Soit(S,T, m)un espace mesuré et soit ϕ:S →Cune fonction mesurable. On suppose queϕf ∈L²(m)pour toute f ∈L²(m).

Montrer que l’application linéaireMϕ:L²(m)→L²(m)définie parMϕ(f) =ϕf est continue (utiliser le Théorème du graphe fermé).

T.S.V.P.−→

Exercice 4.(6 points : [1,5+1] + [1,5+1+1])

1) Soit h: R → R la fonction impaire de période 1 définie par h(t) = t pour 06t61/4 eth(t) = 1/2−t pour1/46t61/2.

a) Calculer les coefficients de Fourierc_n= ˆh(n)deh.

b) Montrer que la mesureν =P

n∈Zcnδn (oùδn est la mesure de Dirac en n) est bornée et queh(t) =R

Re^2πitxdν(x).

2) Soitµune mesure complexe sur[−1/4,1/4], et pourt∈R:

f(t) = Z 1/4

−1/4

e^−2πitθdµ(θ).

a) Montrer que f est dérivable surR et quef⁰(t) =−2πiR

Rf(t−x)dν(x) pour toutt∈R.

b) En appliquant le a) au cas particulier deµ₀= _2i¹(δ_1/4−δ_−1/4), en déduire queP

k∈Z 1

(2k−1)² =^π₄²·

c) En déduire que|f⁰(t)|6^π2kfk_∞. Exercice 5.(9 points : 2 + [1+3+2+1])

Soit16p <+∞, etA une partie bornée deL^p(R).

1) Montrer que siAest précompacte (c’est-à-dire que pour toutε >0,Apeut- être recouverte par un nombre fini de boules de rayon6ε;on rappelle que cela équivaut à dire queAest relativement compacte, c’est-à-dire que son adhérence est compacte), alors :

(i)∀ε >0, ∃R(ε)>0 : Z

|x|>R(ε)

|f(x)|^pdx6ε^p, ∀f ∈A; (ii)∀ε >0, ∃δ(ε)>0 : kft−fkp6ε , pour|t|6δ(ε), ∀f ∈A.

2) Réciproquement, on suppose les conditions(i)et (ii)satisfaites par A. Pour toutε >0, on pose :

[ϕ_ε(f)](x) = 1 δ(ε)

Z x+δ(ε)

x

f(u)du.

a) Montrer que pour toutef ∈L^p(R), la fonction ϕε(f)est continue surR. b) Montrer que{ϕε(f)|[−R(ε),R(ε)]; f ∈A}est précompacte dansC [−R(ε), R(ε)]

. c) Montrerkf−ϕε(f)kp6εpour toute f ∈A.

d) En déduire queAest précompacte dansL^p(R).

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