PanaMaths Septembre 2012
Soit la matrice 1
A 2 5
⎛
m
⎞⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − où m est un réel.
A quelle condition sur le réel m, la matrice A est-elle inversible ?
Analyse
On cherche classiquement une matrice B telle que A B× =I2 et on obtient un système de quatre équations à quatre inconnues. Celui-ci n’admet une solution que sous une certaine condition sur m …
Résolution
On cherche à quelle condition sur le réel m il existe une matrice B a b c d
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ telle que l’on
ait : 2 1 0
A B I
0 1
⎛ ⎞
× = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠. On a facilement : 1
A B 2 5 2 5 2 5
m a b a mc b md
c d a c b d
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× =⎜⎝ − ⎟ ⎜⎠ ⎝× ⎟ ⎜⎠ ⎝= − − ⎟⎠. Ainsi :
( )
( )
( )
( )
2
1 0
A B I
0 1 1 0
2 5 2 5 0 1
1 1
2 5 2 0 2 1
2 5 0
0 0
2 5 1 2 5 2 1 2 0
1
5 2
5 1
a mc b md
a c b d
a mc a mc
a c a mc a c
b md b md
b d b d b md
a mc
m c b md m d
⎛ ⎞
× = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔⎜⎝ − − ⎟ ⎜⎠ ⎝= ⎟⎠ + = + = ⎧
⎧ ⎪
⎪ − = − − + = − ×
⎪ ⎪
⇔⎨⎪ + = ⇔⎨⎪ + =
⎪ − = ⎪ − − + = − ×
⎩ ⎩
⎧ = −
⎪ − + = −
⇔ ⎨⎪⎪ = −
⎪− + =
⎩
PanaMaths Septembre 2012
Les équations − +
(
5 m c)
= −2 et − +(
5 m d)
=1 n’admettent de solution que si l’on a 5+ ≠m 0, c'est-à-dire m≠ −5. En revanche, lorsque m= −5, ces équations n’admettent pas de solution et on ne peut trouver la matrice B. La matrice A n’est pas inversible.Résultat final
La matrice 1
A= 2 5
⎛ m⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠ où m est un réel, est inversible si, et seulement si, m≠ −5.
