PanaMaths
[1 - 4]Juin 2008
Calculer :
0 0
( )
n n
i j
i j
= =
+
∑∑ , ( )
0 0
min ,
n n
i j
i j
∑∑
= =et ( )
0 0
max ,
n n
i j
i j
∑∑
= =Analyse
Dans les trois cas, on se ramène à des sommes classiques en fixant l’indice i. La deuxième et la troisième somme peuvent faire l’objet de traitements similaires mais on peut aussi réfléchir à ce que vaut… leur somme !
Résolution
On a :
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0 0 0 0 0
0
0
0 0
2
1 1
2
1 2
1 2
1 1 1
2 2
1
n n n n n
i j i j j
n
i
n
i
n n
i i
i j i j
n i n n
n i n
n i n
n n n
n n
n n
= = = = =
=
=
= =
⎛ ⎞
+ = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
= ⎜ + + ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= + ⎜⎝ + ⎟⎠
⎛ ⎞
= + ⎜⎝ + ⎟⎠
⎛ + ⎞
= + ⎜ + + ⎟
⎝ ⎠
= +
∑∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
∑ ∑
( ) ( )
20 0
1
n n
i j
i j n n
= =
+ = +
∑∑
Pour i fixé, on a :
( )
simin ,
si i j i
i j j j i
⎧ >
= ⎨⎩ ≤
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[2 - 4]Juin 2008
On peut donc écrire :
( )
0 0 1
min ,
n i n
j j j i
i j j i
= = = +
= +
∑ ∑ ∑
(remarque : la deuxième somme n’est pas définie pour i=n).On a :
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 1
2 2
2
min ,
1 2
1 2 2
2
1 2 1
2
n i n
j j j i
i j j i
i i i n i
i i ni i
i n i
= = = +
= +
= + + × −
= + + −
= − + +
∑ ∑ ∑
Lorsque i=n, la deuxième ligne du calcul ci-dessus donne :
(
1) ( ) (
1)
2 2
i i n n
i n i
+ +
+ × − = .
Or, dans ce cas,
( ) ( ) ( )
0 0 0
min , min , 1
2
n n n
j j j
i j n j j n n
= = =
= = = +
∑ ∑ ∑
. La formule que nous venonsd’obtenir est donc valable pour toutes les valeurs de i.
Il vient alors :
( ) ( ( ) )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
2
0 0 0
2
0 0
min , 1 2 1
2
1 2 1
2 2
1 2 1 1
1 2 1
2 6 2 2
1 1 1
1 2 1
2 2 6
1 2 1
6
n n n
i j i
n n
i i
i j i n i
i n i
n n n n n n
n n n
n n n
= = =
= =
= − + +
= − + +
+ + + +
= − +
⎛ ⎞
= + + ⎜⎝ − ⎟⎠
+ +
=
∑∑ ∑
∑ ∑
( ) ( )( )
0 0
1 2 1
min ,
6
n n
i j
n n n
i j
= =
+ +
∑∑
=Pour calculer
( )
0 0
max ,
n n
i j
i j
= =
∑∑
, nous pouvons remarquer que l’on a :( ) {
i j, 0,1, 2,...,n}
2, min ,( )
i j max ,( )
i j i j∀ ∈ + = +
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[3 - 4]Juin 2008
On en tire donc immédiatement :
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
min , max ,
n n n n n n
i j i j i j
i j i j i j
= = = = = =
+ = +
∑∑ ∑∑ ∑∑
D’où :
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
0 0 0 0 0 0
2
max , min ,
1 2 1
1 6
1 6 1 2 1
6
1 4 5
6
n n n n n n
i j i j i j
i j i j i j
n n n
n n
n n n n
n n n
= = = = = =
= + −
+ +
= + −
+ ⎡ ⎤
= ⎣ + − + ⎦
+ +
=
∑∑ ∑∑ ∑∑
( ) ( )( )
0 0
1 4 5
max ,
6
n n
i j
n n n
i j
= =
+ +
∑∑
=Nous allons cependant procéder comme pour le calcul de
( )
0 0
min ,
n n
i j
i j
= =
∑∑
.Pour i fixé, on a :
( )
simax ,
si j j i
i j i j i
⎧ >
= ⎨⎩ ≤
On peut donc écrire :
( )
0 0 1
max ,
n i n
j j j i
i j i j
= = = +
= +
∑ ∑ ∑
(remarque : ici encore, la deuxième somme n’est pas définie pour i=n).On a :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0 1
0 0 0
2
max ,
1 1
1 2 2
1 1
2 2
1 1
2
n i n
j j j i
i n i
j j j
i j i j
i j j
n n i i
i i
n n i i
i i n n
= = = +
= = =
= +
= + −
+ +
= + + −
+ +
= +
⎡ ⎤
= ⎣ + + + ⎦
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
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[4 - 4]Juin 2008
Lorsque i=n, la troisième ligne du calcul ci-dessus donne :
(
1) (
1) (
1) (
1)
2 2
n n i i
i i + + n n
+ + − = + .
Or, dans ce cas,
( ) ( ) ( )
0 0 0
max , max , 1
n n n
j j j
i j n j n n n
= = =
= = = +
∑ ∑ ∑
. La formule que nous venonsd’obtenir est donc valable pour toutes les valeurs de i.
Il vient alors :
( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2
0 0 0
2
0 1 0
2
max , 1 1
2
1 1
2
1 2 1 1
1 1
2 6 2
1 2 1 3 6 1
12
1 8 10
12
1 4 5
6
n n n
i j i
n n n
i i i
i j i i n n
i i n n
n n n n n
n n
n n n n
n n n
n n n
= = =
= = =
⎡ ⎤
= ⎣ + + + ⎦
⎛ ⎞
= ⎜ + + + ⎟
⎝ ⎠
⎛ + + + ⎞
= ⎜ + + + ⎟
⎝ ⎠
+ ⎡ ⎤
= ⎣ + + + + ⎦
= + +
+ +
=
∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
On a ainsi retrouvé le résultat obtenu précédemment.
Résultat final
( ) ( )
20 0
1
n n
i j
i j n n
= =
+ = +
∑∑
( ) ( )( )
0 0
1 2 1
min ,
6
n n
i j
n n n
i j
= =
+ +
∑∑
=( ) ( )( )
0 0
1 4 5
max ,
6
n n
i j
n n n
i j
= =
+ +
