Juin 2008

PanaMaths

Juin 2008

Calculer :

0 n 3 k

k

∑

^et

k

∑

Analyse

On adopte des démarches similaires pour les deux calculs. L’idée essentielle consiste à se ramener à des sommes connues en travaillant, par exemple pour la 1^ère somme, avec

(

)

Résolution

Pour simplifier les écritures, nous notons, pour tout p entier naturel :

0 n

p p

k

S k

=

=

∑

Dans cet exercice, on doit donc calculer S₃ et S₄. Rappelons, par ailleurs, que l’on a :

0 0

1 1

n

k

S n

=

=

∑

^{( )}

0

1 2

n

k

S k n n

=

=

∑

^{( )( )}

0

1 2 1

6

n

k

n n n

S k

=

+ +

=

∑

( )

( )

( )

( )

0 1 1 0

1 1 1 1

n n n n

k k k k

k k k n k n S n

+

= = = =

+ = = + + = + + = + +

∑ ∑ ∑ ∑

Mais on a également :

( )

(

)

0 0

4 3 2

0 0 0 0 0

4 3 2 1 0

1 4 6 4 1

4 6 4 1

4 6 4

n n

k k

n n n n n

k k k k k

k k k k k

k k k k

S S S S S

= =

= = = = =

+ = + + + +

= + + + +

= + + + +

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Les deux expressions obtenues nous permettent donc d’écrire :

( )

4 4 3 6 2 4 1 0 4 1

S + S + S + S +S =S + n+ Soit :

( )

3 2 1 0

4S +6S +4S +S = n+1

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Il vient alors :

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

4

3 2 1 0

4

3

3 2 2

3 2

2

2 2

2

1 1 6 4

4

1 1 1 2 1 2 1 1

4

1 1 1 2 1 2 1

4

1 1 3 3 1 2 2 1

4

1 1

4

1 1 1

4

1 1

4 1 2

S n S S S

n n n n n n n

n n n n n

n n n n n n n

n n n

n n n

n n n n

⎡ ⎤

= ⎣ + − − − ⎦

⎡ ⎤

= ⎣ + − + + − + − + ⎦

⎡ ⎤

= + ⎣ + − + − − ⎦

= + + + + − − − −

= + +

= + +

= +

+

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

On retrouve le résultat « classique » : S₃ =S₂².

( )

( )

3

1 1

2 4 1

S ⎡n n+ ⎤ n n

=⎢ ⎥ = +

⎣ ⎦

Pour le second calcul, nous procédons de la même façon :

( )

( )

( )

( )

0 1 1 0

1 1 1 1

n n n n

k k k k

k k k n k n S n

+

= = = =

+ = = + + = + + = + +

∑ ∑ ∑ ∑

Mais on a également :

( )

(

)

0 0

5 4 3 2

0 0 0 0 0 0

5 4 3 2 1 0

1 5 10 10 5 1

5 10 10 5 1

5 10 10 5

n n

k k

n n n n n n

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k

S S S S S S

= =

= = = = = =

+ = + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Les deux expressions obtenues nous permettent donc d’écrire :

( )

5 5 4 10 3 10 2 5 1 0 5 1

S + S + S + S + S +S =S + n+ Soit :

( )

4 3 2 1 0

5S +10S +10S +5S +S = n+1

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Il vient alors :

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5

4 3 2 1 0

2 2 5

2 4

4 2

4 3 2 3 2 2

1 1 10 10 5

5

1 1 2 1 1

1 1 10 10 5 1

5 4 6 2

1 2 1

1 1 5 5 5 1

5 2 3 2

1 6 1 15 1 10 2 1 15 6

30

1 6 24 36 24 6 15 15 20 10 15

30

S n S S S S

n n n n n n n

n n

n n n n

n n

n

n n n n n n n

n n n n n n n n n n

⎡ ⎤

= ⎣ + − − − − ⎦

⎡ + + + + ⎤

= ⎢ + − − − − + ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ + + ⎤

= + ⎢ + − − − − ⎥

⎣ ⎦

+ ⎡ ⎤

= ⎣ + − + − + − − ⎦

= +

(

)

( )

( ) ( )

4 3 2

3 2

6

1 6 9

30

1 6 9 1

30

n n n n n

n n n n n

−

= + + + −

= + + + −

On peut factoriser 6n³+9n²+ −n 1 sous la forme :

(

) (

)

factorisation de 3n²+3n−1 fait apparaître des racines irrationnelles qui ne conduisent à aucune simplification d’écriture particulière …).

Finalement :

( )( ) (

)

4

1 2 1 3 3 1

30

n n n n n

S + + + −

=

Résultat final

( )

( )

3 2

0

1 1

2 4 1

n

k

k n n n n

=

+

⎡ ⎤

=⎢ ⎥ = +

⎣ ⎦

∑

( )( ) (

)

4 0

1 2 1 3 3 1

30

n

k

n n n n n

k

=

+ + + −

∑