PanaMaths
[1 - 2]Juin 2008
Calculer :
0
!
n k
k k
=
×
∑
Analyse
On modifie l’expression k k× ! pour faire apparaître une différence de deux factorielles …
Résolution
La somme se récrit :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0
0
0 0
! 1 1 !
1 ! !
1 ! !
1 ! !
n n
k k
n
k n
k
n n
k k
k k k k
k k k
k k
k k
= =
=
=
= =
× = + − ×
= + × −
= + −
= + −
∑ ∑
∑
∑
∑ ∑
A partir de :
( )
10 1
1 ! !
n n
k k
k k
+
= =
+ =
∑ ∑
, il vient alors :( )
( )
0 0 0
1
1 0
1
! 1 ! !
! !
1 ! !
n n n
k k k
n n
k k
n
k
k k k k
k k
n k
= = =
+
= =
=
× = + −
= −
= + +
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
1
!
n
k
k
=
−
∑
( )
( )
0!
1 ! 0!
1 ! 1 n
n
−
= + −
= + − Finalement :
( )
0
! 1 ! 1
n
k
k k n
=
× = + −
∑
PanaMaths
[2 - 2]Juin 2008
Résultat final
( )
0
! 1 ! 1
n
k
k k n
=
× = + −
