Juin 2008

PanaMaths

[1 - 2]

Juin 2008

Calculer :

( )

( )

0

1

n k

k n k

=

n n

−

∑ −

Analyse

On développe le numérateur pour faire apparaître deux sommes classiques …

Résolution

Remarquons d’abord que pour k=0 et k=n, le produit ^{k n k}

(

⁻

)

est nul. On a donc :

( )

( ) ( )

( )

1

0 1 1 1

n n

k k

k n k k n k

n n n n

−

= =

− −

− = −

∑ ∑

On a alors :

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) _{( )}

( )

1 1

1 1

1 1 1

2 2

1 1 1

1 1

2

1 1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

n n

k k

n n n

k k k

n n

k k

k n k

k n k

n n n n

kn k kn k

n n n n

n k k

n n

− −

= =

− − −

= = =

− −

= =

− = −

− −

⎡ ⎤

= − − = − ⎣⎢ − ⎥⎦

⎡ ⎤

= − ⎣⎢ − ⎥⎦

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

En utilisant les sommes classiques :

( )

1

1 2

n

k

k n n

=

= +

∑

^{et 2}

^{( )( )}

1

1 2 1

2

n

k

n n n

k

=

+ +

∑

= , il vient enfin :

( )

( ) ( )

( )

1 1 1

2

1 1 1

1

1 1

1 1

n n n

k k k

k n k

n k k

n n n n

n n

− − −

= = =

−− = − ⎣⎡⎢ − ⎤⎥⎦

= −

∑ ∑ ∑

(

^{n 1}

)

ⁿ

n −

(

¹

)

2

n− n

−

(

^{2 1}

)

6

2 1

2 6

1 6

n

n n n

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − −

= +

PanaMaths

[2 - 2]

Juin 2008

Finalement :

( )

( )

1

1

1

1 6

n

k

k n k n n n

−

=

− = +

∑

−

Résultat final

( )

( ) ( )

( )

1

0 1

1

1 1 6

n n

k k

k n k k n k n

n n n n

−

= =

− = − = +

− −

∑ ∑