PanaMaths
[1 - 1]Juin 2008
Ecrire plus simplement :
0
n k
k n
k
kx
=
⎛ ⎞⎜ ⎟
∑
⎝ ⎠Analyse
On s’efforce de modifier le produit n k k
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠ pour faire apparaître un autre coefficient binomial et récrire la somme …
Résolution
Pour n=0, on a immédiatement :
0
0
, 0k
k
x k n x
= k
∀ ∈ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =
∑
⎝ ⎠\ .
Supposons donc : n≥1. On a , pour k≠0 :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
1 !) ( )
1! !
! ! ! 1 ! 1 1 ! 1 ! 1
n n n n n
k k n n
k n k k n k k n k k k
− −
⎛ ⎞= = = = ⎛ ⎞
⎜ ⎟ − − − − − − − ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
D’où, pour tout x réel :
( )
( )
0 1 1
1 1
1 0
1 1 1
0
1 1
1 1
1 1
1
1 1 1
n n n
k k k
k k k
n n
k k
k k
n k n k n
k
n n n
k x n x n x
k k k
n n
nx x nx x
k k
nx n x nx x
k
= = =
− −
= =
− − − −
=
− −
⎛ ⎞ = ⎛ ⎞ = ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜⎝ − ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠
⎛ − ⎞
= ⎜ ⎟ = +
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
Résultat final
0
0
, 0k
k
x k n x
= k
∀ ∈ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =
∑
⎝ ⎠\ et, pour n≥1,
( )
10
1
n k n
k
k n x nx x k
−
=
⎛ ⎞ = +
⎜ ⎟⎝ ⎠
