A20228. Un polynˆ ome “fighting spirit”

A20228. Un polynˆ ome “fighting spirit”

On consid`ere le polynˆome Pn(x) d´efini par

P

(x) =

n X

m=0

C

(1 − x)

x

+ (1 − x)

x

D´eterminer P1794(2009).

Solution

P1794(2009) = 1, qui est la valeur de Pn(x) pour toutn et toutx.

Pour le montrer sans lourd d´eveloppement alg´ebrique, supposons 0< x <1, et imaginons que x est la probabilit´e que Jules marque un point contre Romain dans un match (du genre tennis de table en une manche et sans la r`egle des deux points d’´ecart) qui se gagne enn+ 1 points.

L’expressionC_n+mⁿ (1−x)^mxⁿ⁺¹ est la probabilit´e que Jules gagne parn+ 1 points contrem`a Romain : ils ont marqu´enetmpoints respectivement dans un ordre quelconque, puis Jules a marqu´e le point d´ecisif. En ´echangeantx et 1−x, on a la probabilit´e que Romain gagne parn+ 1 points contrem `a Jules.

L’expression `a sommer est donc la probabilit´e que le perdant ait marqu´e exactement m points `a la fin du match, et la somme est la probabilit´e que le perdant ait marqu´e moins den+ 1 points en fin de match, ce qui est une certitude.

Donc P_n(x) = 1 pour tout x de l’intervalle (0,1) ; le polynˆome P_n(x)−1 s’annule pour une infinit´e de valeurs de x, il est identiquement nul.

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