D1877. Un lieu peu ordinaire http://www.diophante.fr
Dans un triangle ABC, on trace le point M milieu de BC et le point D pied de la bissectrice issue de A.
Soit P un point courant de la droite [AD].
La droite symétrique de la droite [BP] par rapport la bissectrice intèrieure de l’angle en B coupe la droite [AD] au point Q.
Déterminer le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle MPQ quand P parcourt la droite [AD].
Solution proposée par Michel ROME
A
B C
M D P
Q E
I
J G N
Soient I et J les centres des cercles inscrit et exinscrit sur la bissectrice AD. Soit G le milieu du segment IJ. C’est le centre du cercle passant par I, J, B, C. Il est connu qu’il est aussi sur la médiatrice de BC et sur le cercle circonscrit ABC.
I, J, P, Q forme une division harmonique et donc GP·GQ=GI2.
Maintenant, voici un dessin dont nous avons enlevé tout ce qui était inutile. Reste I, J, G, P, Q sur une droite. le point M est quelconque.
I G J
P M
Q N
E
O
Dans l’inversion de centre G et de puissance GI2, P et Q s’échangent. La droite GM recoupe le cercle PQM en N, alors GN·GM=GP·GQ=GI2, en conséquence N est fixe. Les cercles PQM font partie du faisceau de cercles de points fixes M et N, leurs centres sont sur (L) médiatrice de MN. Le cercle de diamètre IJ fait partie du faisceau orthogonal et (L) est l’axe radical de ce faisceau. Le centre du cercle PQMN se projette sur la droite IJ au mileu de PQ, en dehors du segment IJ. En effet
GO2−GI2=1/4(GP+GQ)2−GP·GQ=1/4(GP−GQ)2≥0
Réciproquement : Soit E un point de la droite (L) se projetant en O sur la droite IJ en dehors du segment ouvert IJ. Alors
EO2=GE2−GO2≤GE2−GI2=EM2 car E est sur axe radical du faisceau orthogonal.
Donc le cercle de centre E passant par M et N coupe la droite IJ en P et Q.
GP·GQ=GE2−EM2=GI2
I, J, P, Q est en division harmonique et E est bien le centre d’un cercle PQM.
Revenons au problème. Considérons le cercle circonscrit ABC. Des considérations d’angles montrent qu’il passe par G.
Le lieu cherché consiste en la partie de la médiatrice de MN extèrieure à la bande comprise entre les droites perpendiculaires la droite IJ — également bissectrice de l’angle BAC — aux points I et J.
On peut préciser la position de N. L’inversion de centre G de puissance GI2, échange P et Q, M et N, et la droite AC avec le cercle circonscrit à ABC. Ce dernier contient donc N. N est le point diamétralement opposé à G.
