D1877. Un lieu peu ordinaire.
Γest le cercle circonscrit `aABC,Ile centre du cercle inscrit,Iacelui du cercle exinscrit dansA,b LetK les intersections deΓet de la m´ediatrice deBC.
B,C,I et Ia sont co-cycliques (cercleΓa, de centreL).
(I, Ia, P, Q) = −1) (propri´et´e des bissectrices de QCP\), donc LP.LQ = LI2.
On a aussiLK.LM =LI2puisqueΓet BCsont images l’un de l’autre dans l’inversion par rapport `aΓa. Donc les cerclesΨ (M P Q) forment un faisceau lin´eaire `a points r´eelsKetM et le lieu de leur centre est la m´ediatrice deKM. P etQsont interchangeables : quandP est sur le segmentIIa,Qest ext´erieur
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a ce segment, et vice-versa. Le centre des cerclesΨne d´ecrit donc pas l’ensemble de la m´ediatrice deKM : il faut exclure le segment correspondant `a la pro- jection sur cette droite du segmentIIaperpendiculairement `a la bissectriceAD.
La mˆeme propri´et´e existe pour les intersections de BP /BQet CP /CQ avec la bissectrice ext´erieure enA.
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