D 1877 Un lieu peu ordinaire

(1)

D 1877 Un lieu peu ordinaire

Solution proposée par Pierre Renfer

On va supposer le triangle ABC non isocèle en A car dans ce cas les points M, P, Q seraient alignés.

On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C).

On note a, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AB.

1) Coordonnées de quelques points

Soient I, I , I , I_a _b _c les centres du cercle inscrit et des cercles exinscrits face à A, B, C.

Les coordonnées de ces centres et de M sont : a I b c

_a a I b

c



_b a I b

c

 _c a I b

c

0 M 1 1 Les points P et Q sont isogonaux.

Si (x, y, z) sont les coordonnées de l’un, alors

2 2 2

a , b , c x y z

 

 

  sont les coordonnées de l’autre.

Les coordonnées de P et Q sont : C

a2

Q b c

 

  Lorsque  décrit R, le point P décrit la droite (AD), privée de A.

Pour récupérer A, il faut prendre pour  le point à l’infini de la complétion projective de R.

2) Coordonnées du centre E du cercle (MPQ)

a) Equation de la médiatrice de [PQ]

La bissectrice intérieure (AD) en A est perpendiculaire à la bissectrice extérieure passant par I et I_b _c.

Cette perpendiculaire passe par le point à l’infini , de coordonnées :

c b b

c







(2)

Pour P et Q, on obtient des coordonnées de même somme :

2 2 2

(a b c ) P b(a b c ) c(a b c )

      

     

a( b c )2

Q b ( b c ) c ( b c )

  

   

    Par addition de ces coordonnées, on obtient celles du milieu J de [PQ] :

 

2 2 2

2 2

( b c ) 2a a(b c ) J b 2(b c ) a

c 2(b c ) a

     

    

La médiatrice de [PQ] passe par les points  et J. Son équation est donc :

 

2 2 2

2 2

x c b (b c ) 2a a(b c )

y b b 2(b c ) a 0

z c c 2(b c ) a

      

     

     

On trouve :



² ²

 

² ² ² ² ²

 

² ² ² ² ²



bc  2(b c) a    x c c (a b c ) a c y b b     (a b c ) a b z 0    b) Equation de la médiatrice de [PM]

Pour P et M, on obtient des coordonnées de même somme :

2 P 2b

2c



0

M b c b c

  

Par addition de ces coordonnées, on obtient celles du milieu K de [PM]

Par soustraction de ces coordonnées, on obtient celles point à l’infini ’ de la droite (PM) : 2

K 3b c b 3c



  

2 ' b c

b c

 

   

  

L’involution canonique  de la droite de l’infini, qui à un point à l’infini associe le point à l’infini de la direction orthogonale, a pour définition analytique :

2 2 2 2 2 2

x ' (a b c )y (a b c )z y ' (a b c )z ( a b c )x z' ( a b c )x (a b c )y

        

         

         



(3)

On en déduit les coordonnées de ’) :

2

2 2 2 2 2 2

2(c b)(a b c )

( ') ( 3b c a ) (b c )(a b c ) ( a b 3c ) (b c )(a b c )

       

         

       

La médiatrice de [PM] passe par les points ’) et K. Son équation est donc :

2

2 2 2 2 2 2

x 2 2(c b)(a b c )

y 3b c (3b c a ) (b c )(a b c ) 0 z b 3c (a b 3c ) (b c )(a b c )

      

           

          

On trouve :

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(a 2b 2c ) 2(b c )(a 2b 2c ) (b c )(a 2(b c ) x (4c a ) 2(c b)(a 2c 2bc ) a(c b)(b 3c y

(4b a ) 2(b c )(a 2b 2bc ) a(b c )(3b c z 0

               

             

              

c) Coordonnées de E

En résolvant le système des équations des deux médiatrices, on trouve les coordonnées de E :

 

2 2

2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2

a(c b)( b c )(a b c )

E b (c b)(a 2b 2bc )( a )(2b 2c a 4bc(c b ) a(b 5c 2bc ) c (c b)(a 2c 2bc )( a )(2b 2c a 4bc(c b ) a(5b c 2bc )

         

                 

                 

3) Lieu des centres E

Le calcul de la somme des coordonnées y et z de E fournit une jolie surprise :



² ²



²

y z  a 2(b c)(c b)           ( b c)( b c a )

Donc les coordonnées (x, y, z) de E vérifient : ^{a (y z) a}²^{ } ^



²^^{2(b c) x}^ ²



^

C’est l’équation d’une droite , parallèle à (BC) puisqu’elle passe par le point à l’infini de coordonnées (0, 1, -1).

Il reste à voir quelle est la partie de la droite que décrit E.

(4)

La somme s des coordonnées de E est : s 2(a (b c ))² ² ^x₂ 2(a b c )(a b c )^x₂

a a

            

Pour E, on se ramène à des coordonnées de somme 1, en divisant x, y, z par s.

La première coordonnée est alors la constante

a2

2(a b c )   (a b c ) 

La seconde coordonnée est alors égale à : g( ) ^b (f )

2(a b c )(a b c )(c b)

   

        avec :

2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2

2

(c b)(a 2b 2bc)( a )(2b 2c a 4bc(c b ) a(b 5c 2bc) (f )

(k b c)(b c a )

                

        

Le calcul de la dérivée de f donne :

2 2 2

2c (a b c )( a b c )(a b c )(a b c )( a)( a) f '( )

(k b c )(b c a )

                   

        

Comme b et c jouent le même rôle, on peut supposer : b c

La fonction g atteint un maximum local pour  a. Le point P est alors en I et le point E en E₁. La fonction g atteint un minimum local pour   a. Le point P est alors en I_a et le point E en E₂.

8ac (a b c )(a b c )

(f a)(f a) 0

(a b c )( a b c )

     

   

     

Le lieu des centres E est donc la droite , privée du segment  E , E ₁ ₂ .