xx <+− 0)1(10 ≥+∗−+−=+∗−+−≥+∗−+−=+∗−+−≥+−+ 111021010101011021010101011021010101011021010101021010110 kkkk xx <+− 0)1(10

Posons n=10^ka+b avec 0≤b<10^k.

Il vient directement de la relation 0≤b=a^k −10^ka<10^k que a^k−1 ≥10^k et donc

⎡

^10α

10 ⁻¹⎥=^Δ

⎥

⎢ ⎤

⎢

≥⎡ ^k

k

a

⎤

. Prouvons maintenant que ^a=

⎡ ⎤

^10α . Pour cela, examinons les entiers strictement supérieurs à

⎡ ⎤

^10α et prouvons qu’ils ne respectent pas . Cette fonction étant croissante au-delà de

0 ) 1 (

10 + <

−

x

x^{k k}

⎡ ⎤

^10α , il nous suffit de prouver que cette inégalité n’est pas respectée pour

⎡ ⎤

^{10α +1.}

Or

( ⎡ ⎤ ) ( ^{⎡ ⎤} ) ( ^{⎡ ⎤ ⎡ ⎤} ) ( ^{⎡ ⎤} )

⎡ ⎤⎡ ⎤ ( ) ( ^{⎡ ⎤} )

⎡ ⎤ ⎡ ( ⎤ ) ( ^{⎡ ⎤} )

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ( ) ( ^{⎡ ⎤} )

1

1 10 2 10 10

10 10

1 10 2 10

10 10

10

1 10 2 10

10 10

10

1 10 2 10

10 10 10

2 10 10 1 10

) 1 ( )

1 (

1 1

1

≥

+

∗

− +

−

=

+

∗

− +

−

≥

+

∗

− +

−

=

+

∗

− +

−

≥ +

− +

−

−

−

−

−

k k

k k

k k

k k

k k k k

k k k k

k k

k k k k

α

α α

α

α α

α

α α

α α

α

Il nous reste donc à trouver pour quels k la valeur

⎡ ⎤

^{10α respecte xk}

^{− 10}

^k

⁽

^x

^{+ 1 ) < 0}

^.

Nous obtenons alors les valeurs suivantes : k=2, a=100, n=10000

k=3, a= 32, n=32768 k=5, a=18, n=1889568 k=6, a=16, n=16777216 k=8, a=14, n=1475789056 k=10, a=13, n=137858491849 k=14, a=12, n=1283918464548864

k=26, a=11, n=1191817653772720942460132761