Un exemple dans le plan On consid`ere la courbe param´etr´ee d´efinie par γ(t

Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Licence 2, 2016-2017 D´epartement de Math´ematiques Courbes et calcul int´egral

TD - Courbes param´etr´ees

Exercice 1. Courbe param´etr´ee et param´etrisation unitaire On consid`ere la courbe plane param´etr´ee d´efinie par

γ : [1,+∞[→R², t7−→(t, f(t)) o`uf(t) = ¹₂ t√

t²−1−ln(t+√

t²−1) .

1. La courbe γ est-elle r´eguli`ere sur [1,+∞[?

2. Calculer f⁰(t) et kγ⁰(t)k l`a o`u les d´eriv´ees existent.

3. D´eterminer la longueur d’arc de γ entre les points (1,0) et (t, f(t)).

4. Trouver une param´etrisation unitaire de la courbeγ

Exercice 2. Courbure. Un exemple dans le plan

On consid`ere la courbe param´etr´ee d´efinie par γ(t) = (2 + 5 cost,3 + 5 sint) pour t∈[0,2π].

1. Dessiner cette courbe.

2. D´eterminer la nature de cette courbe.

3. Quelle est sa courbure?

Exercice 3. Courbure. Un exemple dans l’espace

On consid`ere la courbe param´etr´ee d´efinie parγ(t) = ¹₂ cost,√

3 t,sint

pourt ∈R. 1. La courbe est-elle unitaire?

2. Calculer sa courbure.

Exercice 4. Courbure d’une h´elice

Consid´erons l’h´elice param´etr´ee par γ(t) = (cost,sint, t) pour t ∈R. 1. D´eterminer l’abscisse curviligne s(t) = Rt

0 kγ⁰(u)kdu.

2. Trouver la param´etrisation de cette h´elice Γ(s) = γ(t(s)).

1

3. Calculer la courbure ρ(s) de Γ(s).

Exercice 5.

Soit γ(t)∈R³ une courbe param´etr´ee r´eguli`ere.

Il est parfois utile de pouvoir calculer sa courbureρdirectement, sans expliciter une param´etrisation unitaire de γ. Montrer que

ρ=kγ⁰(t)∧γ⁰⁰(t)k/kγ⁰(t)k³ .

Indication: on pourra commencer par d´eterminer une base orthonorm´ee de R³ (form´ee `a partir des vecteurs Γ⁰(s) et Γ⁰⁰(s)) dans laquelle on calculera ensuite le produit vectoriel.

Exercice 6.

Consid´erons la courbe param´etr´ee par γ(t) = (e^−tcost,e^−tsint,0) pour t∈R. 1. Quelle est la nature de cette courbe?

2. D´eterminer sa courbure.

Exercice 7.

Consid´erons la courbe param´etr´ee parγ(t) = (rcost, rsint, h t), o`ur >0 et h∈R^∗. 1. Quelle est la nature de cette courbe?

2. D´eterminer le tri`edre de Frenet associ´e `a cette courbe ainsi que sa courbure et sa torsion.

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