REND. SEM. MAT. UNIV. PADOVA, Vol. 113 (2005)
Erratum: Nilpotence,
radicaux et structures monoõÈdales.
YVESANDREÂ(*) - BRUNOKAHN(**)
Le but de cet erratum est d'indiquer une erreur dans [1] et d'en cor- riger partiellement une autre.
± La premieÁre erreur est le corollaire 16.1.1 b) (ii): cet eÂnonce est faux car l'idempotents(pA)n'est pas central. Cette erreur est irreÂparable:
nous remercions Peter O'Sullivan de nous l'avoir signaleÂe. Le lecteur veÂrifiera que cette partie du corollaire 16.1.1 n'est pas utiliseÂe dans le reste de l'article.
± La preuve de la proposition 8.1.1 b) et par conseÂquent celle du theÂoreÁme 8.2.2. a) sont fausses. Le probleÁme, dans la preuve de 8.1.1 b), est la phrase: «D'apreÁs 7.3.3, tout eÂleÂment de ce radical est donc de trace nulle». La proposition 7.3.3 ne s'applique pas ici, parce que le foncteurHde l'eÂnonce est deÂfini surA, mais pas surA=N.
Nous ignorons si 8.1.1 b) et 8.2.2. a) sont vrais tels quels, mais voici un eÂnonce treÁs proche de 8.2.2 qui l'est (et qui repreÂsente une version ab- straite des reÂsultats de Jannsen [2]).
Notations: K est un corps,A une cateÂgorie K-lineÂaire monoõÈdale sy- meÂtrique rigide avec End(1)K, R est son radical et N l'ideÂal des morphismes «universellement de trace nulle» de [1, lemme 7.1.1].
THEOREM 1. a) Supposons qu'il existe une extension L=K et un foncteur K-lineÂaire monoõÈdal symeÂtrique H:A ! Vvers une cateÂgorie L- lineÂaire monoõÈdale symeÂtrique rigide,dans laquelle lesHomsont de L- dimension finie et les endomorphismes nilpotents sont de trace nulle(cette
(*) Indirizzo dell'A.: DeÂpartement de MatheÂmatiques et Applications, EÂcole Normale SupeÂrieure, 45 rue d'Ulm, 75230 Paris Cedex 05, France. E-mail:
andre@dmi.ens.fr
(**) Indirizzo dell'A.: Institut de MatheÂmatiques de Jussieu, 175-179 rue du Chevaleret, 75013 Paris, France. E-mail: kahn@math.jussieu.fr
dernieÁre proprieÂte vaut par exemple siVest abeÂlienne, cf:7:3:3. Alors i) R N,
ii) A=N est semi-simple,
iii) le seul ideÂal monoõÈdal I deAtel queA=I soit semi-simple est I N.
b)Supposons de plus que K soit de caracteÂristique nulle,queV VecL et que H soit fideÁle. Alors
(i) R N,
(ii) Aest de Wedderburn,
(iii) Aest pseudo-abeÂlienne si et seulement siA=N est abeÂlienne.
CommencËons par deux lemmes:
LEMMA1. SoitAune cateÂgorie K-lineÂaire monoõÈdale symeÂtrique ri- gide avec End(1)K et soit L=K une extension. Soit AL la cateÂgorie ayant les meÃmes objets queAet veÂrifiantAL(M;N): A(M;N)KL (cf.
[1, deÂf. 5.1.1]). Alors
a)La structure monoõÈdale symeÂtrique de As'eÂtend aÁAL par lineÂ- ariteÂ,etAL est rigide.
b)Soit NL le plus grand ideÂal monoõÈdal de AL. Alors,pour deux objets M;N,on a
NL(M;N) N(M;N)KL:
En particulier,on a une eÂquivalence de cateÂgories(A=N)L' AL=NL: DEÂMOSTRATION. La premieÁre partie dea) est eÂvidente, et la deuxieÁme reÂsulte de la caracteÂrisation objet par objet des cateÂgories rigides [1, deÂf.
6.1.3]. Dans b), une inclusion est eÂvidente. Dans l'autre sens, soit f 2 NL(M;N) et eÂcrivons f P
lifi, avec fi2 A(M;N) et les li2L, lineÂairement indeÂpendants surK. Par hypotheÁse, on atr(gf)0 pour tout g2 A(N;M). Par indeÂpendance lineÂaire, cela impliquetr(gfi)0 pour tout
i, doncfi2 N(M;N)pour touti. p
REMARQUE1. Ce lemme donne un sens aÁ [1, rem. 7.1.9]; dans le cas des motifs, c'est le fait bien connu que l'eÂquivalence numeÂrique commute aÁ l'extension des scalaires.
Le lemme suivant aurait duà figurer dans [1]:
126 Yves Andre - Bruno Kahn
LEMMA2. SoitBune cateÂgorie additive et soitIun ideÂal deBtel que la cateÂgorieB=Isoit semi-simple. AlorsI contient le radical deB.
DEÂMOSTRATION. D'apreÁs [1, lemme 1.4.7], le foncteur pleinB ! B=I est radiciel, et d'apreÁs [1, prop. 2.1.2], le radical deB=I est nul. p DeÂmontrons maintenant le theÂoreÁme: le lecteur reconnaõÃtra une re- production exacte des arguments de Jannsen.
a) tout d'abord le lemme 2.8 montre que (ii))(i). Quant aÁ (iii), in- dique pour meÂmoire, il a deÂjaÁ eÂte vu dans [1, proposition 7.1.4 c)]. Il suffit donc de montrer (ii).
Il est clair que Hse prolonge en un foncteurL-lineÂaire monoõÈdal sy- meÂtriqueAL! V: le lemme 1.5 rameÁne la preuve de (ii) au cas ouÁLK.
En effet, si la conclusion du theÂoreÁme est vraie pour AL, alors en parti- culier les Hom sont deK-dimension finie dansA=N; siM2 A=N et siI est un ideÂal nilpotent de(A=N)(M;M), alorsI KLest un ideÂal nilpotent de(AL=N)L(M;M)qui est donc nul, et(A=N)(M;M)est semi-simple.
Supposons donc LK. Soit M2 A, et soit I un ideÂal bilateÁre de A(M;M)tel que tout eÂleÂment deH(I)soit nilpotent. Sif 2 I, alorsgf 2 I pour tout g2 A(M;M). En particulier, H(gf) est nilpotent et donc, par hypotheÁse, on a tr(H(gf))0. Comme A(1;1)K, cela entraõÃne tr(gf)0; ainsiI N(M;M). En particulier, KerH N. Par hypotheÁse, les Hom deA=KerHsont deK-dimension finie, doncA=KerHest semi- primaire et, pour tout objetM, les ideÂaux nilpotents de(A=KerH)(M;M) sont contenus dans (N=KerH)(M;M), ce qui implique que(A=N)(M;M) est semi-simple. D'ouÁ (ii).
b) la preuve se fait comme dans [1, 8.2.2.b)]. p AUTRES ERRATA. 1) au deÂbut de 1.1, l'assertion «un foncteur entre deux cateÂgories K-lineÂaires est un K-foncteur si et seulement s'il trans- forme biproduit en biproduit» requiert queKsoit un sous-anneau deQ, ou bienFp.
2) Dans 1.3.6 f) (iii), lire: «. . .somme directefinied'objets repreÂsen- tables».
3) Le deÂbut de la proposition 2.1.7 doit se lire ainsi:
Soit I un ideÂal d'une K-cateÂgorie pseudo-abeÂlienne semi-simple A.
Alors:
i)A=I est pseudo-abeÂlienne semi-simple.
Dans la deÂmonstration, la sectionsAest un homomorphisme d'anneaux non unitaires.
Erratum: Nilpotence, radicaux et structures monoõÈdales 127
D'autre part, signalons un grand nombre d'erreurs typographiques, dont toutes ne sont pas de la responsabilite des auteurs.
REÂFEÂRENCES
[1] Y. ANDREÂ - B. KAHN (avec un appendice de P. O'Sullivan), Nilpotence, radicaux et structures monoõÈdales, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 108 (2002), pp. 107-291.
[2] U. JANNSEN,Motives,numerical equivalence and semi-simplicity, Invent.
Math.107(1992), pp. 447-452.
Manoscritto pervenuto in redazione il 6 ottobre 2004
128 Yves Andre - Bruno Kahn
