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Théorème sur les polygones superposés

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(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

H. R OUART

Théorème sur les polygones superposés

Nouvelles annales de mathématiques 1

re

série, tome 9 (1850), p. 400

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1850_1_9__400_0>

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(2)

( 4oo )

THÉORÈME SUR LES POLYGONES SUPERPOSÉS;

PAR M. H. ROUART,

Élève du lycée Louis-le-Grand, classe de M. Beynac.

THÉORÈME.

Si l'on place l'un sur l'autre deux poly- gones convexes d'un même nombre de côtésj de manière que deux côtés consécutifs de l'un soient coupés par un côté de l'autre; on obtient une suite de triangles sail- lants i le produit des côtés extérieurs de rang impair est égal à celui des côtés de rang pair.

Démonstration. Soit n le nombre des côtés de chaque polygone*, on forme 'in triangles extérieurs, ayant deux à deux un angle égal comme opposé par le sommet. Dési- gnons par t

x

, f g, 1

3

,..., t

2n

les aires des triangles, par a

4

, a

2

, a

%

,..., a

2u

les côtés extérieurs, et par b

1

, b

2

, b

z

,..., b

fn

les côtés intérieurs successifs-, on a la suite de rapports égaux :

t2 : : ax bx

h : : ö3 b, ti : : ah bz

« 2 ^ 2 ,

«4 &Ö ,

t-xn l tt II am_l b2n l ainb{.

Multipliant par ordre, et supprimant les facteurs communs, on obtient

a6 a,. 2 ak a«. . . ain.

C. Q. F. D.

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