Sur les polygones inscrits à une conique et circonscrits à une autre et les polygones formés de génératrices d'une quadrique et inscrits à une autre quadrique

B ULLETIN DE LA S. M. F.

M. F ^OUCHÉ

Sur les polygones inscrits à une conique et circonscrits à une autre et les polygones formés de génératrices d’une quadrique et inscrits à une autre quadrique

Bulletin de la S. M. F., tome 43 (1915), p. 146-160

<http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1915__43__146_1>

© Bulletin de la S. M. F., 1915, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Bulletin de la S. M. F. » (http:

//smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/

conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

— 146 —

SUR LES POLYGONES INSCRITS A UNE CONIQUE ET CIRCONSCRITS A UNE AUTRE ET LES POLYGONES FORMÉS DE GÉNÉRATRICES D'UNE QUADRIQUE ET INSCRITS A UNE AUTRE QUADRIQUE;

PAR M. MAURICE FOUCHÉ.

1. Introduction. —Je dois m^excuser quelque peu de publier dans ce recueil un travail d^un caractère aussi élémentaire et aussi peu original. Toutes les propositions que je vais rappeler sont connues depuis longtemps, à part, peut-être, les propriétés homo- logiques des polygones de Moutard, et encore je ne voudrais pas garantir quelles fussent nouvelles. L/intérêt des lignes qui vont suivre, si toutefois il existe, réside seulement dans la simplicité des démonstrations. Cependant, j^ai été encouragé à les faire

— 147 —

imprimer par les conversations que j'ai souvent eues pendant les séances, et dans lesquelles quelques-uns de nos collègues expri- maient le désir que la Société mathématique de France s'intéres- sât,plus directement aux questions d'enseignement et de péda- gogie. Les théorèmes que je vais étudier passent pourdifficiles à démontrer. Les raisonnements que j'expose ici donneront peut- être satisfaction, dans une certaine mesure, au désir précédent.

2. Enveloppe du n¹^⁶ côté d'un polygone de n côtés inscrit à une conique et dont les n — i premiers côtés sont tangents à une autre conique. — Poncelet a démontré que si un polygone de n côtés est inscrit à une conique (Go) et circonscrit à une autre (G, ), il existe une infinité d'autres polygones inscrits à (Go) et circonscrits à (G|), l'un des sommets de ce polygone pouvant être pris arbitrairement sur (Go). Je me suis proposé de donner de ce théorème célèbre une démonstration sans calcul aussi simple que possible.

Par un point A( pris sur (Go), je mène une tangente à (C« ) qui coupe (Go) en un second point Aa, puis de Aa je mène la seconde tangente à (Ci), et ainsi de suite, jusqu'à ce que j'obtienne sur (Go) le point A,,. En joignant A^ à A^ j'obtiens un polygone de n côtés inscrit à (Go). En général, la droite A,,A( n'est pas tangente à (G| ).

Cherchons l'enveloppe de cette droite quand le point A, par- court la conique (Go). Je dis que cette enveloppe est une conique du faisceau défini par les deux coniques (Go) et ( C i ) .

D'abord cette enveloppe est une conique. Soit en effet XY une droite de l'ensemble considéré. Cette droite coupe la conique (Go) en deux points M et N qui sont les mêmes que les points désignés précédemment par A, et A». On pourra l'obtenir en faisant la construction indiquée à partir du point M ou du point N. Mais du point M on peut mener deux tangentes à la conique ( C < ) . Suivant qu'on prendra l'une ou l'autre, on obtiendra soit la droite XY, soit une autre droite X'Y'. Ainsi, par chaque point M de la conique (Go) passent deux droites de l'ensemble, et deux seulement. L'enveloppe de ces droites est donc de la seconde classe : c'est une conique que nous désignerons par (E).

Soit B< un des points d'intersection des deux coniques (Go)

-- 148 —

et ( C i ) * Du point B^ on ne peut mener qu'une seule tangente à la conique (C<), au lieu de deux. Donc à partir du point B(, on ne pourra construire qu'un seul polygone de n côtés, le dernier côté arrivant en Bi, soit B/iB,. Donc, du point B| on ne pourra mener qu'une seule tangente B| B,, à Penveloppe du n¹⁶"¹⁶ côté. Cela prouve que le point B( se trouve sur cette enveloppe. Comme il en est de même des trois autres points d'intersection des coniques (Co) et ( C < ) , la conique (E) passe bien par les quatre points d'inter- section des deux autres.

Il peut arriver que la droite A|A/,, au lieu d'envelopper une conique, passe par un point fixe 0. Cela revient à dire que la conique (E), enveloppe de A( A/,, se réduit à deux droites, dont 0 est l'intersection. En raisonnant par continuité, on voit que ces deux droites doivent passer par les quatre points communs aux coniques (Co) et (Ci), ce qui prouve que le point 0 est l'un des sommets du triangle autopolaire conjugué commun aux deux coniques (Co) et (C,). Nous verrons plus loin (n° 8) un exemple de cette particularité qui, du reste, n'empêche pas les raisonne- ments suivants de s'appliquer sans presque aucun changement.

3. Polygones de n côtés inscrits à une conique et circonscrits à une autre.—Les coniques (Ci) et (E) admettent quatre tangentes communes. Il semble donc qu'il y ait quatre polygones de n côtés inscrits à (Co) et circonscrits à (C<), ce qui serait contraire au théorème de Poncelet. Mais il est facile de voir que ces quatre polygones ne sont pas des polygones proprement dits. Pour s'en rendre compte, il convient de distinguer si n est pair ou impair.

Supposons d'abord n pair et égal à 2p. Mettons le point Ai en l'un des quatre points communs aux coniques (Co) et (Ci), et faisons la construction indiquée j usqu'à ce que nous ayons tracé p côtés, ce qui nous conduit au point A^(. Recommençons alors la construction en partant de ce point A^.» et en suivant, en sens inverse, le contour précédent. Après avoir tracé p côtés, nous revenons au point A| et, comme de ce point on ne peut mener qu'une tangente à (Ci), le côté Suivant coïncide avec A ( A a , et nous suivons encore, cette fois dans le sens direct, le contour déjà tracé. Alors le côté de rang n — \ ou 2p — i se termine au point Ap et la droite ApAp^ qui termine le polygone est bien

- 149 -

tangente à la coniqae (C<). Le polygone ainsi obtenu se compose du contour A p ^ » A ^ A ^ _ i . . .AaA^ parcouru successivement dans les deux sens. Il y a quatre de ces polygones singuliers corres- pondant chacun à l'un des quatre points communs aux deux coniques (Go) et (Ci). Si donc il existe un polygone proprement dit de n côtés inscrit à (Go) et circonscrit à (Ci), c^est que les coniques (Ci) et (E|) auront une cinquième tangente commune, et alors elles coïncideront, ce qui démontre le théorème.

Si n est impair et égal à 2j?-h i ? nous placerons le point A, au point de contact de (G) avec une des quatre tangentes communes aux deux coniques et nous ferons la construction précédente en partant de A,. As coïncidera avec A|. Nous continuerons jusque ce que nous ayons tracé p 4- 1 côtés, ce qui nous conduira au point Ap4.a. Nous referons alors la même construction en partant du point Aj^.2 et en suivant le même contour en sens inverse.

Après avoir tracé p côtés nous nous retrouverons en A| ou Aa ; le (jo+ i)'®"¹⁶ côté sera la tangente en A < , qui nous ramène encore en A( ou Aa à partir d^où nous suivrons encore le même contour, mais cette fois dans le sens direct. Pour avoir le côté de rang a», il nous faut tracer p — i côtés ce qui nous amène au point Aa^-^.i ou A^<. Finalement le dernier côté est le côté A^.( -^p+2 q111 est bien langent à la conique (G»). Cette fois le polygone singulier est composé du contour As As.. .Ap^a parcouru dans les deux sens avec adjonction de la tangente en A, qui doit être considérée comme un côté de longueur nulle. La démonstration s^achève comme dans le cas pré cèdent.

4. Transformation polaire. — Construisons la conique (C.j) polaire réciproque de (Co)par rapporta (C»), puis la conique (C.i) polaire réciproque de (G| ) par rapport à (Ça) et ainsi de suite ; ou inversement, dans Fautre sens, la conique (C_i) polaire réci- proque de (Ci) par rapport à (Go), la conique (C^a) polaire réci- proque de (Co) par rapport à (C_<) et ainsi de suite. Poncelet a fait remarquer que si deux coniques consécutives de cette suite admettent un polygone circonscrit à Fune et inscrit à la suivante, il en sera de même de deux coniques consécutives de la même suite. La démonstration est trop facile pour que je croie utile de la reproduire. Remarquons seulement que toutes ces coniques,

— 1SO —

dérivées successivement Fune de Pautre par la transformation polaire, ont le même triangle autopolaire commun. En particu- lier, si les deux coniques initiales sont tangentes en un point A, toutes les coniques de la suite seront tangentes entre elles au même point A, et les droites qui joignent les deux autres points communs de deux coniques consécutives iront toutes se coaper en un même point de la tangente commune en A. Si les deux coniques initiales sont bitangentes en deux points A et B, toutes les coniques de la suite seront bitangentes aux mêmes points. Plus particuliè- rement encore, si les deux coniques initiales ont même foyer et même directrice correspondante, toutes les coniques de la suite auront ce même foyer et cette même directrice.

3. Propriétés homologiques, — Supposons que le poly- gone (Pô) aït un nombre pair de côtés et soient A et A' deux sommets opposés de ce polygone. Si Pon se donne le point A sur la conique (Co), le point A' sera complètement déterminé, et si Fon se donne le point A', on retrouvera pour point opposé le point A. Donc les points A et A' forment une involution sur la conique (Co), et toutes les droites telles que AA' qui joignent deux sommets opposés du polygone (Pô) et que j^appellerai diago- nales principales^ concourent en un même point o>. Considérons maintenant deux côtés opposés AB et A'B'. Les droites AA' et BB⁷ se coupant au point <i>, ces deux côtés vont se couper sur la polaire (X) du point t*> par rapport à la conique (Co). Si Fon fait une transformation homo logique de toute la figure en prenant <o pour centre, (X) pour axe d^homologie, et A et A' pour points conjugués, on sait que cette transformation homologique sera involutive; le polygone (Pô) se transformera en lui-même. La conique (Co) se transformera aussi en elle-même parce que Paxe d^homologie est la polaire du centre d^homologie. La conique (G() doit alors se transformer en une autre, tangente à tous les côtés du polygone (Pô)- Si le nombre des côtés est au moins égal à six, cette conique se transformera donc en elle-même. Il en résulte que les points de contact des côtés opposés de (Pô) avec (Ci) se correspondent aussi dans la même homologie, et il est aisé de véri- fier que (X) est aussi la polaire de <o par rapport à la conique (C<).

Enfin, on peut étendre ces conclusions de proche en proche

- 151 -

à toutes les coniques de la suite définie au numéro précédent.

Toutes ces propositions sont contenues dans Fénoncé suivant : Si deux coniques admettent des polygones de Poncelet d'un nombre pair de côtés, ces polygones et tous ceux qu'on en peut déduire par la suite des transformations polaires définies au numéro précédent sont chacun homologique à lui-même dans une homologie involuti^e dont le centre et Vaxe sont un sommet et le côté opposé du triangle autopolaire commun a toutes les coniques de la suite.

II est bien entendu que, parmi les points qui se correspondent homologiquement sur un même polygone, se trouvent d^une part les sommets opposés et d^autre part les points de contact de deux côtés opposés avec la conique inscrite.

Le cas du quadrilatère échappe au raisonnement précédent parce qu'il existe une infinité de coniques passant par quatre points ou tangentes à quatre droites. On pourra donc remplacer les coniques initiales ( C o ) e t ( C i ) chacune par une infinité d'autres, ce qui permettra d'obtenir, par transformation polaire, une infi- nité de suites de coniques telles que deux coniques consécutives admettent un quadrilatère inscrit à Puri et circonscrit à l'autre.

Mais on sait que, lorsqu'un quadrilatère est circonscrit à une conique, les diagonales et les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés passent par un même point. Il est du reste évident que ce point a la même polaire par rapport à toute conique inscrite ou circonscrite au quadrilatère. On peut alors vérifier facilement que les conclusions précédentes s^appliquent à toutes les suites qu^on peut former en partant d^un quadrilatère quelconque. '

6. Conséquences. — La proposition du n° 2 montre que, si un polygone se déforme en restant inscrit à une conique et circons- crit à une autre, chacune des diagonales de ce polygone enveloppe une conique passant par les quatre points d'intersection des deux coniques primitives, excepté, si le nombre des côtés est pair, les diagonales principales qui pivotent autour du point a). On voit ainsi un exemple du cas particulier signalé à la fin du n° 2. Il est, du reste, évident que si ce cas particulier se présente après qu'on

- 15S —

a tracé n tangentes à la conique (Ci), c'est qu'on retrouve le même point Am en partant^de Pune ou l'autre des deux tangentes qu'on peut mener du point A» à la conique ( C i ) et alors les deux coniques admettent une infinité de polygones de 2/1 côtés inscrits à (Co) et circonscrits à (Ci).

Si l'on cherche à construire un polygone de 2/î côtés inscrit à (Co) et circonscrit à (Ci) en partant de l'un des points d'inter- section des deux coniques, il faudra qu'après avoir tracé n tim- gentes on arrive en un second point d'intersection des deux coniques, puisque le point (o par où doit passer la droite Ai A,/, étant à l'intersection de deux cordes communes aux coniques (Cy) et (Ci), se trouve nécessairement sur Pune des trois cordes communes issues de A| . Le polygone sera constitué par l'ensemble de ces n tangentes parcouru dans les deux sens. C'est donc la con- dition nécessaire et -suffisante que doivent remplir les deux coniques pour admettre un polygone de Poncelet de in côtés.

Il en résulte que si celte condition est vérifiée pour deux des points d'intersection des deux coniques, elle est aussi vérifiée pour les deux autres.

Le cas du quadrilatère présente des particularités intéressantes, parce qu41 suffit alors de mener deux tangentes à (Ci).

On voit d'abord que, si Pense donne la conique (Co)î il suffira, pour construire la conique (Ci), de tracer dans (Co) deux cordes partant d'un même point HF, HF', et de tracer ensuite une conique tangente à ces deux cordes aux points F et V. Le nombre des para- mètres dont dépend la conique (Ci) est égal à 4-

Cherchons maintenant à construire le quadrilatère en partant du point de contact A avec (Co ) d'une tangente commune aux deux coniques. Le second point se confondra avec A. De A on mènera dans (Co) la corde AB tangente à (G() et de B la seconde tangente à (Ci). Pour que le quadrilatère se ferme, il faudra que cette seconde tangente soit une tangente commune aux deux coniques, de manière à donner sur (Co) le même point B. Alors le quadrila- tère de Poncelet se réduira à la droite AB, parcourue deux fois en sens inverse avec les deux tangentes communes en A et B consi- dérées comme des côtés de longueur nulle {fig. i).

De ce qui précède on déduit, par des raisonnements trop faciles pour qu'il soit utile de les développer, le théorème suivant :

— 153 -

Si deux coniques (Co) et (Ci) se coupent, en deux points F et F', de manière que les tangentes à (C<), en ces deux points^ se coupent en H sur la conique (Co), les tangentes à (G,) aux deux autres points d'intersection G et G' des deux coniques se cou- peront aussi sur la conique (Co) en un point H'. Les deux droites FF' et GG' se coupent en un point co, d^où l'on peut mener deux tangentes d(Ci). Ces deux tangentes coupent (Go) aux quatre points de contact des tangentes communes aux deux coniques.

On peut ajouter que les points H et H' sont les points de contact des tangentes menées de co à la conique (Co), qu'ils sont en ligne droite avec les points de contact des tangentes menées de u> à ( G ( )

et que les points ^de contact des tangentes communes avec (Ci), convenablement associés, sont alignés sur (o (voir la figure).

XLIII. i j

— 154 —

7. Cas particulier. — Si le nombre des côtés du polygone (Pô) est impair, il n\'xiste pas de théorème analogue au précédent;

mais on peut signaler un cas particulier remarquable. Supposons que les deux coniques (G®) et (Ci) soient bitangentcs. Nous savons que toutes les coniques de la suite seront aussi bitangentes aux deux mêmes points A et B. liaisons une trans formation homo- graphique dans laquelle les deux points h. et B seront remplacés par les points cycliques. La suite des coniques sera remplacée par une suite de cercles concentriques y et les polygones (P) par des polygones réguliers. Donc les droites qui joignent un des sommets d'un de ces polygones au point de contact du côté opposé passeront toutes par le centre commun de tous ces cercles, cl de plus, les points d'intersection d'un côté d'un polygone avec la tangente à la conique au sommet opposé seront tous à F infini.

En faisant alors la transformation inverse, nous obtenons le théo- rème suivant :

Si un polygone d'un nombre impair de côtés est inscrit à une conique et circonscrit à une autre bitangente à la pre- mière^ les droites qui joignent chaque sommet du polygone au point de contact du côté opposé passent par le point de rencontre des tangentes communes aux deux coniques; les points d'intersection de chacun des côtés du polygone a^ec la tangente à la conique circonscrite au sommet opposé sont tous sur la corde commune aux deux coniques. Ce point et cette droite restent les mêmes pour tous les polygones quon obtient au moyen de ta transformation polaire du n° 4.

Si en particulier les deux coniques initiales ont le même foyer cl la même directrice, il en sera de même de toutes les autres. Le point fixe sera le foyer et la droite sera la directrice.

8. Théorème de Moutard. — Par un point A, de l'intersec- tion de deux quadriques on mène une génératrice de Pune des quadriques. Elle rencontre l'autre en un point Aa duquel on mené la générdirice de l'autre système de la première. Celle-ci rencontre la seconde quadrique en un point A 3 duquel on mène la génératrice du premier système de la première, et ainsi

de suite. Après qu'on a tracé ainsi un nombre pair de généra- trices de la première quadrique, la dernière de ces génératrices est du second système; donc elle rencontre la génératrice ini- tiale A , Â 2 qui est du premier système. Il peut se faire que le point d'intersection soit précisément le point A,. Si cette parti- cularité se présente, elle se présentera aussi quel que soit le point de départ choisi sur l'intersection des deux quadriques, le nombre des côtés du polygone ainsi formé étant toujours le même.

En d'autres termes :

Si dans la courbe commune à deux quadriques on peut inscrire un polygone gauche de ïn côtés dont les côtés Sont des généra- trices de l'une des quadriques, on pourra en inscrire une infinité d'autres en se donnant arbitrairement l'un des sommets sur la courbe commune aux deux quadriques.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de projeter toute la figure sur un plan quelconque en prenant pour centre de projection le sommet S d'un des quatre cônes du faisceau de quadriques défini par les deux quadriques données. La courbe commune se projette suivant une conique (Co) et le contour apparent de la qua- drique (Qo) suivant une autre conique (D). Toutes les généra- trices de (Qo) de l'un ou l'autre système se projettent suivant des tangentes à la conique (D). Si donc la particularité indiquée se présente, il y aura un polygone de 9.n côtés inscrit à (Co) et cir- conscrit à (D). Donc il y en aura une infinité d'autres et l'on pourra se donner arbitra ire ment le point de départ a^ sur la conique (Co). On peut donc aussi se donner le point de dépari A , sur la courbe commune aux deux quadriques. Les côtés du poly- gone (p) construit dans le plan de projection à partir de a^ sont chacun les projections de deux génératrices de (Qo) de systèmes différents. On peut alors les regarder comme les projections d'une suite de génératrices alternativement de première et de seconde espèce. Deux génératrices successives de cette suite se coupent donc en un point A et ce point est sur la courbe com- mune puisque la projection de leur intersection est sur la co-

- 1?>6 -

nique (Co) (<) . Puisque le nombre des côtés est pair, le premier et le dernier côté sont des génératrices de systèmes différents qui se coupent aussi sur la courbe commune en un point qui se pro- j e t t e en ai. Ce point ne peut être que le point de départ A , , et ainsi, le théorème est démontré.

I l convient d'ajouter qu'on obtiendrait un autre polygone de Moutard si, en partant du même point A , , on avait commencé par tracer la génératrice du système auquel n'appartient pas celle qu'on avait tracée tout d'abord.

9. Propriétés homologiques, — Le point S, sommet d'un des quatre cônes faisant partie du faisceau de quadriques défini par les quadriques (Qo) e t ( Q » ) , a le même plan polaire par rapport à ces deux quadriques et même par rapport a toutes les quadriques du faisceau. Faisons la projection sur ce plan polaire (H).

Soit A ^ A a - . - A ^ w le polygone (P) de ^n côtés formé par les génératrices de la quadrique (Qo) et a< 03 . . . a^n 1^ projection (jo) de ce polygone (P), laquelle est par hypothèse inscrite dans la conique (Co), projection de l'intersection des deux quadriques, et circonscrite à la conique (D), contour apparent de la qua- drique (Qo). Nous savons (n° 5) que les diagonales principales du polygone (p) passent par un même point S< q u i est Pun des sommets du triangle autopolaire des deux coniques, et que les côtés opposés de ce même polygone (p) se coupent sur le côté 8383 du même triangle opposé à Si. Les contours apparents (D) e t ( D ^ ) des deux quadriques (Qo) et ( Q , ) sont tous deux dans le plan (H) et se coupent en quatre points qui sont nécessairement sur la courbe commune aux deux quadriques. Ce sont les quatre points d'intersection de cette courbe avec le plan (H) et ils se trouvent ainsi sur la conique (Co) (2) . Le triangle S ^ S ^ S s est donc le

(1) II faut se rappeler que cliaque point de (Co) est la projection de deux points de la courbe commune, de sorte que la projetante de ce point coupe la quadrique (Qo) en deux points qui sont sur la courbe commune. Le point A étant sur la quadrique (Qo) est l'un de ces points.

(2) On sait que la projection d'une courbe tracée sur une surface doit être tangente a la projection du contour apparent de cette surface. On pourrait donc s'attendre à ce que la courbe (Co) fût tangente à chacune des courbes ( D ) cl ( I > i ) . Mais il faut faire attention que la courbe (Co) est une projection double,

-~ 1S7 —

triangle autopolaire du faisceau de coniques comprenant (Co), ( D) et ( D < ) . Puisque (D) est sur la quadrique (Qo) et ( B < ) sur la quadrique ( Q < ) , les points Si, 82, Ss sont deux à deux conjugués par rapport à chacune de ces deux quadriques et, finalement, le tétraèdre SS< 8283 est le tétraèdre autopolaire commun aux deux quadriques.

Puisque les diagonales principales du polygone (jp), projection de (P), passent par le point S,, c^est que les diagonales princi- pales du polygone ( P ) rencontrent la droite SSi joignant le centre de projection S au point S<. Comme on aurait pu faire la projection en prenant pour centre Pun quelconque des sommets des quatre cônes du faisceau de quadriques, c'est-à-dire l'un quelconque des sommets du tétraèdre autopolaire, on voit que les diagonales principales du polygone (P) doivent rencontrer une des arêtes de ce tétraèdre passant par Pun quelconque de ses sommets. Cela peut se faire de deux manières. Ou bien les diago- nales principales rencontrent deux arêtes opposées de ce tétraèdre, ou bien elles vont concourir en Pun des sommets.

Pour élucider la question, il convient de distinguer si n est pair ou impair, c^est-à-dire si le nombre des côtés du polygone (P) est ou n^est pas divisible par 4-

Soient AB et A'B' deux côtés opposés du polygone (P), A' étant opposé à A, et B' à B. Si n est pair, les génératrices AB et A^' appartiennent à un même système, comme on le voit immédiatement en supposant que le polygone (P) ait quatre côtés, ce qui fait n == a. Alors ces génératrices ne sont pas dans un même plan, et les diagonales AA⁷, BB' ne peuvent pas se ren- contrer. Donc, dans ce cas, les diagonales principales de (P) ren- contrent deux arêtes opposées du tétraèdre autopolaire, soient SSi et S2Sg. Nous savons aussi que sur la projection le polygone (p)

chacun de ces points étant la projection de deux points de la courbe commune aux deux quadriques. Elle peut donc couper le contour apparent sans que Jes tangentes a celte courbe et au contour apparent soient confondues, le point d'intersection étant un point double. La partie intérieure au contour apparent est composée de points qui sont chacun la projection de deux points réels, tandis que la partie extérieure est le lieu des projections de couples de points imagi- naires conjugués. Cette circonstance se présente dans la Géométrie descriptive élémentaire, quand on fait la projection de l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent, sur le plan de ces deux axes.

— m —

est homologique à lui-même dans une homologie involulive ayant pour centre Si et pour axe Sa Sa. Si donc la diagonale aa1 ren- contre Sa Sa en w, la division aa'mS^ est harmonique. Si nous remontons alors au polygone (P) dont la diagonale A-V ren- contre SSi en N et Sa Sa en M, la division AA'MN sera aussi hîirmonique, ce qui montre que le polygone (P) est homologique à lui-même dans une homologie biaxiale involutive dont les axes sont SSi et S^Ss.

Si n est impair, les côtés opposés AB et A'JY du polygone (P) sont deux génératrices de systèmes différents de la quadrique (Qo)î elles sont donc dans un même plan, et les deux diagonales AA' et BB7 se coupent. Soient alors C et G' les deux sommets opposés consécutifs à B et B⁷. La diagonale BB⁷ devra rencontrer aussi la diagonale CG7. Si les trois diagonales AA7, BB7, CC' ne passent pas par un même point, elles devront rencontrer une même droite S/Sy, et alors elles seront toutes les trois dans le plan de BB' avec S/Sy. Comme elles ne sont pas dans un même plan, il faudra quelles passent par un même point, et, en raisonnant de proche en proche, on verra que toutes les diagonales prin- cipales doivent passer par un même point. Ce point, d'après ce qu'on a vu, doit être sur une arête partant d'un quelconque des sommets du tétraèdre. Il ne peut donc être que l'un de ces quatre sommets, soit S<. Nous savons de plus que sur la projec- tion les côtés opposés de (p) se coupent sur Sa Sa. Donc les droites AB et A'B', qui sont dans un même plan, se coupent sur le plan SSsSs. Si l'on considère maintenant deux diagonales non principales mais opposées, telles que AF et A'F⁷, ces dia- gonales se coupent encore puisqu'elles sont dans le plan des diagonales principales AA7 et FF' qui se coupent en S. Nous savons que leurs projections se coupent sur S:îS3; donc, elles- mêmes se coupent sur le plan SS^Sa. Enfin la considération de la division harmonique formée sur la projection par les points a a! Si, et le point m où a a' rencontre Sa Sa prouvera comme précédem- ment qu'il s'agit encore d'une homologie involutive, mais ici, c'est une homologie centrale avec Si pour centre et SSaS» pour plan directeur.

En résumé, tout polygone formé par des génératrices d'une

— 159 —

quadrique satisfaisant au théorème de Moutard est hémo- logique à lui-même dans une homologie involutive qui est biaxiale si le nombre des côtés est divisible par 4» ^t centrale dans le cas contraire. Dans le premier cas^ les deux axes sont deux arêtes opposées du tétraèdre autopolaire commun aux deux quadriques; dans le second cas, le centre est l'un des sommets de ce tétraèdre^ et le plan directeur, le plan de la face opposée de ce tétraèdre.

Il convient de rem'.irquer que dans le second cas, si l'on projette le polygone de Moutard en prenant pour centre le centre même d'homologie, les sommets opposés du polygone se projetteront au même point, de sorte qu'on obtiendra un polygone de n côtes, c'est-à-dire d'un nombre impair de côtés, inscrit dans la projec- jection de la courbe commune aux deux quadriques et circons- crit au contour apparent de cette même quadrique.

10. Dans le plan, le théorème relatif aux polygones de Poncelet est corrélatif de lui-même. Dans l'espace, il n'en est pus de même du théorème de Moutard. Le théorème corrélatif de celui-ci est le suivant :

Etant données deux quadriques (Qo) et (Qi)i dans l'un des plans tangents communs à ces deux quadriques on trace une génératrice (G() de (Qo)i et par cette génératrice on mène le second plan tangent à (Qi). Ce plan est aussi tangent à la qua- drique (Qo) puisqu'il contient la génératrice ( G i ) . II contient donc une génératrice (Ga) de (Qo) au système aucluel n'appartient pas (G,). Par cette génératrice (Gs) on mène l'autre plan tangent a (Qi) lequel est aussi tangent à la quadrique (Qo) puisqu'il contient (G.j). Il contient donc une génératrice (G^) de (Qo) qui appartient au premier système et par laquelle on mène encore l'autre plan tangent à (Q<) et ainsi de suite. S'il arrive qu'après avoir tracé ainsi un nombre impair de génératrices de (Qo)i la dernière coïncide avec la génératrice initiale (G|), il en sera de même quel que soit le plan tangent initial commun aux deux qimdriques. Il en sera encore de même quel que soit le système dans lequel on prendra la génératrice initiale.

— 160 ~

Supposons alors que les deux quadriques (Qo) et ( Q i ) satis- fassent à la condition de Moutard (théorème direct). Si l'on con- struit la quadrique (Qa) polaire réciproque de (Qo) par rapport à ( Q i ) , les génératrices de (Qo) seront remplacées par celles de (Qa), et les points communs à (Qo) et ( Q < ) par les plans tan- gents communs à (Qa) et (Qi). Une génératrice de (Qo) passant par un point commun à (Qo) et ( Q , ) sera remplacée par une génératrice, de (Q_>) située dans un plan tangent commun aux d e u x quadriques ( Q < ) et (Qa) et alors ces deux quadriques satisferont au théorème corrélatif, les génératrices de (Qa) construites d'après la règle indiquée formant un polygone fermé d'un nombre pair de côtés.

Faisons maintenant la transformation polaire par rapport à la quadrique (Q2). Chaque génératrice de (Qa) sera transformée en elle-même et la quadrique ( Q i ) sera remplacée par une qua- drique (Q3)- Considérons le polygone fermé formé par la suite des génératrices (Ga) de (Qa). Ce polygone ne sera pas modifié.

Deux côtés successifs de ce polygone sont dans un même plan tan- gent commun aux quadriques ( Q i ) et (Qa). Ce plan se transforme en un point commun aux deux quadriques (Q.3) et ( Q < ) , lequel devra se trouver sur les deux génératrices non modifiées. Ce sera donc leur point d'intersection, et alors nous retombons sur le théorème direct. De là résulte que, si l'on construit la suite indé- finie dans les deux sens des quadriques obtenues en prenant la polaire de chacune d'elles par rapport à la suivante ou à la précé- dente, chacune des quadriques de rang pair, combinée avec la suivante, satisfera au théorème de Moutard et, combinée avec la précédente, au théorème corrélatif. De plus, ce seront les mêmes polygones tracés sur une des quadriques de rang pair qui satisfe- ront à ces deux théorèmes.

Enfin, comme la transformation polaire ne change pas le tétraèdre autopolaire commun, les propriétés d'homologie se con- serveront dans toute la suite par rapport aux mêmes axes ou au même centre et au même plan d'homologie.