Feuille d’exercices 5

Ecole normale sup´´ erieure Ann´ee 2014-2015 Alg`ebre 1

Feuille d’exercices 5

Exercice 1 Soit Gun groupe et soit H un sous-groupe de G.

1. Montrer que si Gest r´esoluble, H l’est aussi.

2. On suppose d´esormais dans la suite que H est distingu´e dans G. Montrer que siG est r´esoluble, G/H est r´esoluble.

3. Montrer que si H et G/H sont r´esolubles, G est r´esoluble.

4. Si G est r´esoluble et simple, montrer que G est cyclique de cardinal un nombre premier.

5. Montrer que S₃ etD₄ sont r´esolubles.

6. Montrer que Sn n’est pas r´esoluble si n ≥5.

7. Soit p un nombre premier. Montrer que toutp-groupe est r´esoluble.

Exercice 2 Soit G= SL₂(Z) et notons S =

0 −1

1 0

et T =

1 1 0 1

. 1. Calculer l’ordre de S, de T et de ST.

2. Soit γ =

a b c d

∈SL2(Z).

(a) Calculer Sγ etT γ.

(b) Montrer que si c= 0 alors γ ∈ hT, Si.

(c) On suppose c6= 0. Montrer qu’il existe g ∈ hT, Si tel que gγ soit de la forme a⁰ b⁰

0 d⁰

. Conclure queγ ∈ hT, Si.

(d) D´eduire que SL₂(Z) est engendr´e par T et S.

Exercice 3 Calculer les tables d’addition et multiplication de F₈ et F₉.

Exercice 4 Soit n ≥1, soit p un nombre premier et soit q une puissance de p. Calculer les cardinaux de GL_n(F_q), PGL_n(F_q), SL_n(F_q) et PSL_n(F_q).

Exercice 5 1. SoitEun espace vectoriel de dimension finie. Rappeler pourquoi PGL(E) agit fid`element sur P(E).

1

2. Expliciter un isomorphisme entre PGL₂(F₂) et S₃.

3. Montrer que PGL₂(F₃) est isomorphe `a S<sub>4</sub> et que PSL<sub>2</sub>(F<sub>3</sub>) est isomorphe `a A₄. 4. Montrer que PSL₂(F₄) est isomorphe `a A₅.

5. On rappelle que si H est un sous-groupe d’indice n dans S_n, il est isomorphe `a Sn−1. Montrer que PSL2(F5) est isomorphe `a PGL2(F4).

6. Montrer que SL₂(F₃) n’est pas isomorphe `a S₄.

Exercice 6 On veut montrer un th´eor`eme de Jordan-Frobenius :tout sous-groupe fini de GL_n(C)admet un sous-groupe distingu´e, commutatif, d’indice fini born´e par une fonction explicite den.Soitn≥1 ; on munit leC-espace vectorielCⁿdu produit scalaire hermitien usuel (|). On note U_n(C) le sous-groupe de GL_n(C) des matrices hermitiennes. Soit enfin G un sous-groupe fini de GL_n(C).

1. En consid´erant (x|y)_G := |G|⁻¹P

g∈G(gx|gy), montrer que G est conjugu´e `a un sous-groupe de Un(C).

2. On suppose d´esormais que G ≤ U_n(C) et on munit GL_n(C) de la norme des op´orateurs. Soient u, h ∈ U_n(C) tels que u commute avec [u, h] = uhu⁻¹h⁻¹ et que h v´erifie kid−hk <√

2. En consid´erant les espaces propres de u et de huh⁻¹, prouver que u eth commutent.

3. Soitv ∈U_n(C). On suppose queuetv v´erifientkId_E−uk<2⁻¹etkId_E−vk<√ 2.

On d´efinit la suite (v_k) par v₀ := v et v_k+1 := [u, v_k]. Prouver l’in´egalit´e suivante, pour toutk ∈N,

kId_E−v_kk ≤2^kkId_E−uk^kkId_E−vk.

4. Montrer que u etv commutent si et seulement si la suite (v_k) est stationnaire.

5. Soit δ ∈ ]0,¹₂[ un r´eel et soit Hδ le sous-groupe de G engendr´e par les {g ∈ G | kId_E−gk < δ}. Montrer que H_δ est un sous-groupe ab´elien, distingu´e dans G.

6. On identifie U_n(C) `a un sous-ensemble du R-espace vectoriel M<sub>n</sub>(C) =R<sup>2n2</sup> muni de la norme induite par la norme hermitienne sur Mn(C). Soit T un syst`eme de repr´esentants de G/H_δ. Montrer que

[

t∈T

B(t,¯ δ

2)⊂B(0,¯ 1 + δ

2)−B¯(0,1− δ 2).

7. Conclure.

2