Feuille d’exercices 5

Ecole Normale Sup´erieure Paris Ann´ee 2013-2014 Alg`ebre 1

Feuille d’exercices 5

Exercice 1 D´eterminer le groupe d´eriv´e de GL₂(F2) = SL₂(F2).

Exercice 2 Soient G un groupe etH un sous-groupe de G.

1. Montrer que si Gest r´esoluble, alors H l’est aussi.

2. On suppose d´esormais dans la suite que H est distingu´e dansG. Montrer que si G est r´esoluble, alors G/H est r´esoluble.

3. Montrer que si H et G/H sont r´esolubles, alors G est r´esoluble.

4. Si G est r´esoluble et simple, montrer que G est cyclique de cardinal un nombre premier.

5. Montrer que S3 et D₄ sont r´esolubles.

6. Montrer que Sn n’est pas r´esoluble si n≥5

7. Soit p un nombre premier. Montrer que toutp-groupe est r´esoluble.

Exercice 3 Soit G= SL2(Z) et notons S =

0 −1

1 0

etT =

1 1 0 1

. 1. Calculer l’ordre de S, de T et de ST.

2. Soit γ =

a b c d

∈SL₂(Z).

(a) Calculer Sγ etT γ.

(b) Montrer que si c= 0 alors γ ∈< T, S >.

(c) On supposec6= 0. Montrer qu’il existeg ∈< T, S >tel quegγ soit de la forme a⁰ b⁰

0 d⁰

. Conclure queγ ∈< T, S >.

(d) D´eduire que SL₂(Z) est engendr´e par T etS.

Exercice 4 1. Soit K un corps et E un K-espace vectoriel de dimension finie. Rap- peler pourquoi PGL(E) agit fid`element sur P(E).

1

2. Expliciter un isomorphisme entre PGL₂(F2) et S3.

3. Montrer que PGL₂(F³) est isomorphe `aS4 et que PSL<sub>2</sub>(F<sup>3</sup>) est isomorphe `aA4. 4. Montrer que PSL2(F⁴) est isomorphe `aA5.

5. On rappelle que siH est un sous-groupe d’indicendansS_n, il est isomorphe `aSn−1. Montrer que PSL<sub>2</sub>(F5) est isomorphe `a PGL₂(F4).

6. Montrer que SL₂(F³) n’est pas isomorphe `aS4.

Exercice 5 On veut montrer un th´eor`eme de Jordan-Frobenius : tout sous groupe fini de GL_n(C)admet un sous-groupe distingu´e, commutatif, d’indice fini, born´e par une fonction explicite den. Soitn ≥1; on munit leC-espace vectorielCⁿdu produit scalaire hermitien usuel ( | ). On note Un(C) le sous-groupe de GLn(C) des matrices hermitiennes. Soit enfin G un sous-groupe fini de GL_n(C).

1. En consid´erant (x|y)_G := |G|⁻¹P

g∈G(gx|gy), montrer que G est conjugu´e `a un sous-groupe de U_n(C).

2. On suppose d´esormais que G ⊂ U_n(C) et on munit GL_n(C) de la norme triple.

Soient u, h∈U_n(C) tels queu commute avec [u, h] =uhu⁻¹h⁻¹ et tels queh v´erifie

||id−h|| <√

2. En consid´erant les espaces propres de u et de huh⁻¹, prouver que u eth commutent.

3. Soit v ∈U_n(C). On suppose queu et v v´erifient ||id−u||<2⁻¹ et||id−v||<√ 2.

On d´efinit la suite (v_k) par v₀ := v et v_k+1 = [u, v_k]. Prouver l’in´egalit´e suivante, pour tout entier k∈N :

||id−vk|| ≤2^k||id−u||^k||id−v||.

4. Montrer que u etv commutent si et seulement si la suite (v_k) est stationnaire.

5. Soit δ∈]0,¹₂[ un r´eel et soit H_δ le sous-groupe de Gengendr´e par les{g ∈G| ||id− g||< δ}. Montrer que Hδ est un sous-groupe ab´elien, distingu´e dans G.

6. On identifie U_n(C) `a un sous-ensemble du R-ev M_n(C) = R²ⁿ

2 muni de la norme induite par la norme hermitienne sur M_n(C). Soit T un syst`eme de repr´esentants deG/H_δ. Montrer que

[

t∈T

B(t,¯ δ

2)⊂B(0,¯ 1 + δ

2)−B¯(0,1− δ 2).

7. Conclure.

2