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Solutions du Contrôle n˚1
I) 4 points
1. Voir exercice 5 page 1 de "Fonctions composées : exemples"
On démontre (voir exercice) que g0(1) = 3et g(1) =f(0) = 3.
Donc l’équation de la tangente au point d’abscisse 1 est :y= 3(x−1) + 3 = 3x.
Pour x= 0, on ay= 3×0 = 0, donc la tangente passe bien par l’origine.
2. Voir exemple 5 de la fiche de cours "Exponentielle 1". C’est la même idée Soith0(x) = f0(x)
3 = f(x)
3 =h(x).
h(0) = f(0) 3 =3
3 = 1
On sait d’après le cours que la seule fonction vérifiant h0=heth(0) = 1 est la fonction exponentielle. Donch(x) =ex,
donc f(x) = 3ex
II) 4 points
Voir exemple 6 de la fiche de cours "Exponentielle 1" et exercice 3 de "Exponentielle : TICE"
Soitf la fonction définie parf(x) = 1−e−4x e3x−e−x 1. f(x)est définie si et seulement sie3x−e−x6= 0.
Or e3x−e−x= 0⇔e3x=e−x⇔3x=−x⇔4x= 0⇔x= 0.
Donc le domaine de définition defestR∗ 2. Le but est de démontrer que f
−1 3
=e, ce qui est plus précis que simplement
"calculer f
−1 3
", et on peut s’aider du fait qu’on connaît le résultat attendu.
f
−1 3
= 1−e4/3 e−1−e1/3
La question est équivalente à : démontrer que 1−e4/3=e× e−1−e1/3 Il suffit de développer : e× e−1−e1/3
=e1−1−e1+1/3= 1−e4/3
3. Si aexiste, on a nécessairement f
−1 3
=e−a/3, c’est-à-dire e=e−a/3, c’est-à- dire1 =−a
3, soit a=−3 .
Vérifions la propriété avec cette valeur dea. A-t-on1−e−4x=e−3x(e3x−e−x)? Il suffit de développer et d’appliquer les règles de calcul :
e−3x(e3x−e−x) =e−3x+3x−e−3x−x= 1−e−4x
III) 6 points
Soitf une fonction définie et dérivable sur]0; +∞[telle quef0(x) = 1
x et f(e) = 1.
1. Voir exercice 6 de "Fonctions composées : exemples". Le maximum vautf(e) = 1.
2. L’équation de la tangente à la courbe def au point d’abscisseeest : y=1
e(x−e) + 1 = 1 ex.
Pourx= 0, on a bieny= 0, donc la tangente passe par l’origine .
Pour étudier la position de la courbe def par rapport à cette tangente, on compare f(x)et x
e
La méthode standard consiste à étudier la différenceu(x) =f(x)−x e u0(x) = 1
x−1
e = e−x
ex , du signe de e−x.
x 0 e +∞
u0(x) + 0 −
u(x)
0
La fonction u admet un maximum 0 en e, donc u(x) 6 0 pour tout x, donc la courbe def est en-dessous de sa tangente.
Solutions du Contrôle n˚1 page 2 de 2 3. Voir exercice 3 de la fiche de cours "Exponentielle : fonctions composées"
On dérive le quotient g(x) = exp(f(x))
x comme dans l’exercice 3 (et comme dans la ROC : unicité de l’exponentielle).
g0(x) = 0, doncgest constante.
Puis on calcule g(e) = e1
e = 1. Doncg(x) = 1 et exp(f(x)) =x
IV) 6 points
Soitf la fonction définie surRparf(x) =e2x
1. Voir exercice I.2 de la feuille "Problématique de l’exponentielle : exemples".
f
4a
3
=e8a/3= (e2a/3)4
Pour calculer e2a/3, même idée que dans l’exercice I.2 : on constate que(e2a/3)3=e2a =f(a) = 8 = 23. Donce2a/3est la racine cubique de 8, c’est-à-dire 2.
Donc f
4a
3
= 24= 16
Ou bien : e8a/3= (e2a)4/3= 84/3= (23)4/3= 24
2. Voir exercice 4 de la fiche de cours "Exponentielle 2 et exercice 3 de la fiche "Dé- rivées 1"
La formule de l’approximation affine de f(x)pourxvoisin de 0 est f(x)≈1 + 2x carf0(x) = 2e2xdoncf0(0) = 2, et d’autre partf(0) = 1.
Donc f(0,01)≈1,02.
3. Soitg(x) =e2x−1−2x−2x2. g0(x) = 2e2x−2−4x
g00(x) = 4e2x−4 = 4(e2x−1), du signe dee2x−1.
Quand a-t-one2x>1? Lorsque2x >0, soit x >0.
x −∞ 0 +∞
g00(x) − +
g0(x)
0
Doncg0(x)>0 (minimum 0 en 0).
Doncg est croissante
x −∞ 0 +∞
g0(x) + +
g(x) 0
Org(0) = 0, doncg(x)60 pourx60 etg(x)>0pour x>0 4. Pourx= 1
2, on af(x)−1−2x−5x2=e−1−1−5
4 =e−3,25. Or on sait d’après le cours quee <3, doncf(x)−1−2x−5x2<0.
On admettra quef(x)−1−2x−5x2<0 pour toutxde]0; 1[
f(0,01)−v=e2x−1−2xpourx= 0,01.
Les deux dernières questions permettent de prouver : 2x26f(x)−1−2x <5x2pour 0< x <1.
On applique cet encadrement àx= 0,01: 0,00026f(0,01)−v <0,0005
L’objectif de cet exercice est le même que celui de l’exercice 1 de la feuille "Dérivées : utilisation des TICE" : encadrer l’erreur commise dans une approximation affine
