Décomposition polaire
Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Algèbre 3, page 177 Théorème :
1. SoitA∈ Mn(C). Alors il existe une unique matriceH ∈Hn+ telle queA∗A=H2. 2. Soit A ∈ GLn(C). Alors il existe un unique couple (U, H) ∈ Un×Hn+ tel que
A=U H.
De plus, la matriceU ainsi dénie vérie :
kA−Uk=d(A−Un) pour la distance induite par la normeM 7→p
tr(M∗M).
Preuve :
1. Existence. SoitM =A∗A. La matriceM est hermitienne positive. En particulier la matriceM est diagonalisable dans une base orthonormale : il existe D=diag(λ1, . . . , λn)diagonale à terme diagonaux positifs etP∈Un telles que
M =P DP∗ On écrit D = ∆2 avec ∆ = diag(√
λ1, . . . ,√
λn) et ainsi M = P∆2P∗ = (P∆P∗)2. La matrice H=P∆P∗ convient donc.
Unicité. SoitH0 une autre matrice répondant à la question : elle est diagonalisable et ses valeurs propres sont nécessairement les racines carrées de celles deD. Elle est donc semblable à la matrice
∆: il existeQ∈Un telle queH0 =Q∆Q∗. On en déduit donc que : M =P DP∗=H02=Q∆2Q∗=QDQ∗ ce qui peut encore s'écrire :
Q∗P D=DQ∗P
Si on pose Q∗P = (ai,j), on a pour 1≤ i, j ≤n, aijλi =λjaij. Si λi 6=λj, alors aij = 0. Mais dans tous les cas, on a aij
√λi = p
λjaij et donc Q∗P∆ = ∆Q∗P, ce qui nous donne bien que P∆P∗=Q∆Q∗, soit H=H0, ce qui montre l'unicité.
2. Unicité. Si A =U H avec U ∈ Un et H hermitienne positive, alors A∗A= HU∗U H =H2. La matriceH répond donc à la question précédente : elle est unique. La matriceH étant inversible puisqueAl'est,U =AH−1 est uniquement déterminée.
Existence. On prend H la racine carrée de A∗A dénie précédemment. Ici H est hermitienne dénie positive car inversible commeA∗A. On peut poserU =AH−1. Vérions queU est unitaire.
U∗U =H−1A∗AH−1=H−1H2H−1=In
On considère la norme dénie surMn(C) parkAk =p
tr(A∗A). En gardant les notations précé- dentes, on écritH =P∗∆P (oùP est unitaire et ∆ =diag(µ1, . . . , µn),µi∈R+.
kA−Uk2=kU(H−In)k2=kH−Ink2=tr(H−In)2=tr(∆−I)2= Xn i=1
(µi−1)2
SoitV ∈Un. On obtient :
kA−Vk=kU H−Vk=kV−1U H−Ink=kV−1U P∗∆P−Ink=kP(V−1U P∗∆P−In)P∗k=kP V−1U P∗∆−Ink On poseW =P V−1U P∗qui est une matrice unitaire. On obtient :
kA−Vk2=kW∆−Ink2 = tr(∆W∗W∆−W∆−∆W∗+In)
= tr(∆2−W∆−∆W∗+In)
= Pn
i=1
(µ2i −(ωii+ωii)µi+ 1)
≥ Pn
i=1(µ2i −2µi+ 1) =kA−Uk2 (carP
|ωii|2= 1 impliqueRe(ωii)≤ |ωii| ≤1.)
L'égalité a lieu siωii = 1pour touti, et doncW =In. On a alorsV−1U =In et donc V =U.
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