Décomposition polaire
L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.
Pour tout A∈GLn(R), il existe d’uniques matricesO ∈ On(R) etS∈Sn++(R) telles queA=OS.
Théorème 1:Décomposition polaire
Démonstration. On procède par analyse-synthèse. Soit A∈GLn(R).
Analyse : Supposons données O∈ On(R)etS ∈Sn++(R) telles queA=OS.
AlorstAA=tStOOS=SInS =S2. Comme A∈GLn(R) alorstAA∈Sn++(R) et donc S=√
tAA.
On a ainsi O=AS−1. L’unicité est établie.
Synthèse : On pose S =√
tAA∈Sn++(R) etO=AS−1. AlorsA=OS et
tOO=t(AS−1)AS−1=t(S−1)tAAS−1 =t(S−1)S2S−1=t(S−1)S=S−1S =In.
Par conséquent,O ∈ On(R).
Ce résultat se généralise aisément àC. Remarque I
D’après le résultat précédent, l’application
ϕ: On(R)×Sn++(R) → GLn(R)
(O, S) 7→ OS
est bijective.
Il s’agit d’une application bicontinue.
Corollaire 2
Démonstration. La continuité deϕest claire. Montrons la continuité de ϕ−1. SoientA∈GLn(R) et(Ak) une suite de matrices inversibles qui converge vers A.
Soient O ∈ On(R) et S ∈Sn++(R) telles que A =OS et, pour k∈N,Ok ∈ On(R) etSk ∈ Sn++(R) telles queAk=OkSk.
Considérons U une valeur d’adhérence de (Ok).(Ok) admet donc une sous-suite convergente versU, notons-là (Oϕ(k)).(Oϕ(k)−1 ) converge versU−1. Ainsi(Sϕ(k)) converge, notons R sa limite.
Par unicité de la limite, on obtient A = U R. De plus, U ∈ On(R) puisque On(R) est fermé. Enfin, R∈ Sn+(R)puisque la suite(Sk)est à valeurs dansSn++(R)et commeR∈GLn(R)alorsR ∈ Sn++(R).
Par unicité de la décomposition polaire, on obtientS =R etO =U.
On conclut que la suite (Ok) possède une unique valeur d’adhérence : O. Comme cette suite est à valeurs dansOn(R) qui est un espace compact (fermé et borné en dimension finie) alors la suite(Ok) converge vers O. En passant à la limite la relation Sk =O−1k Ak, on obtient que (Sk) converge vers O−1A=S.
Par caractérisation séquentielle de la continuité,ϕ−1 est continue enA.
Cela étant valide pour toute matrice inversible, on en déduit queϕ−1 est continue.
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