Contribution à l'étude du contrôle optimal des transferts orbitaux mono-entrée

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orbitaux mono-entrée

Romain Dujol

To cite this version:

Romain Dujol. Contribution à l’étude du contrôle optimal des transferts orbitaux mono-entrée. Math- ématiques [math]. Institut National Polytechnique de Toulouse - INPT, 2006. Français. �tel-00124029�

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N˚ d’ordre :2400 Ann´ee 2006

TH `ESE

pr´esent´ee pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L’INSTITUTNATIONALPOLYTECHNIQUE DE

TOULOUSE

Ecole doctorale´ : Informatique et Télécommunications Spécialité : Mathématiques Appliquées

par

Romain DUJOL

Contribution à l’étude du contrôle optimal des transferts orbitaux mono-entrée

Soutenue publiquement le 23 Novembre 2006 devant le jury compos´e de :

Prof. Joseph NOAILLES Directeur de th `ese

Prof. Moritz DIEHL Rapporteur

Prof. Emmanuel TRELAT´ Rapporteur Prof. Bernard BONNARD Examinateur Dr. Jean-Baptiste CAILLAU Examinateur

Dr. Richard EPENOY Examinateur

(3)

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3

A mes parents` A mes grands-parents` A Martin` A Martine`

Ce qui est créé par l’esprit est plus vivant que la matière.

Charles BAUDELAIRE, Fus´ees (1851)

Les mathématiciens sont comme les Français : dès qu’on leur dit quelque chose, ils le traduisent dans leur langue, et cela devient tout autre chose.

Johan Wolfgang GŒTHE, Maximes et R´eflexions (1833)

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Introduction

Contexte de l’´etude

Le présent rapport développe l’étude d’un problème de mécanique spatiale.

Plus précisément, nous étudions le transfert d’un satellite d’une orbite à une autre, en nous restreignant aux trajectoires elliptiques autour de la Terre. Le problème de transfert orbital nous a été soumis par le Centre National d’ Études Spatiales (CNES) de Toulouse. En plus des études réalisées par leCNESlui-même [8, 36, 38]

et de nombreux travaux extérieurs [7, 24, 49, 53, 54, 68] montrant l’intérêt scienti- fique d’un tel problème, le transfert orbital a été à l’origine de plusieurs contrats triennaux passés par le CNES avec l’équipe Algorithmes Parallèles et Optimisa- tion et de nombreux rapports, articles et thèses ont été publiés. En particulier, deux thèses [26, 47] ont permis une étude très poussée du problème de transfert orbital en temps minimal aussi bien théoriquement que numériquement. Deux autres thèses [41, 50] ont par la suite traité le problème en consommation minimale en tirant parti de la puissance des méthodes homotopiques [5, 67].

Comme dans les études précédents, notre étude met à profit la théorie du con- trôle optimal [32, 48] et son fameux principe du maximum de PONTRYAGIN [56].

Nous nous consacrerons plus particulièrement à l’utilisation des outils géométri- ques appliqués à la théorie du contrôle [1, 23, 43, 46].

Nos travaux s’inscrivent ainsi dans l’étude des conditions d’optimalité, avec par exemple les principes du maximum d’ordre supérieur [25, 45] ou l’analyse de formes quadratiques [3,58,63]. Suite aux nombreuses études effectuées sur le transfert orbital, nous avons choisi de nous attacher à une configuration particulière : le transfert dit mono-entrée. Dans une telle configuration, la poussée est uniquement dirigée selon la vitesse instantanée du satellite. De manière générale, l’étude d’un système de contrôle mono-entrée requiert une attention particulière ainsi que le montrent les études de Hector SUSSMANN dans le plan [65, 66] puis les études réalisées en dimension trois [2, 10, 60]. En effet, les contrôles optimaux peuvent être “ bang-bang ” et il faut alors formuler d’autres résultats et d’autres conditions (cf. [2, 61] dans R³et [4, 59, 64] dans le cas général). Notons que le problème de transfert orbital est, comme nous le verrons plus tard, un problème en dimension quatre au moins.

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Organisation du rapport

Ce rapport est divis´e en trois parties :

1. La première partie intitulée Modèle et conditions d’optimalité contient trois chapitres :

– le Chapitre 1 présente le problème de transfert orbital dans son ensemble ; – le Chapitre 2 rappelle et développe les conditions d’optimalité au pre- mier et au second ordre dans le cadre général d’un problème de contrôle quelconque ;

– le Chapitre 3 revient sur le problème de transfert orbital vu comme pro- blème de contrôle optimal et applique les résultats du chapitre précédent.

2. La seconde partie intitul´ee Moyennation d´eveloppe la technique de moyen- nation (introduite pour le cas particulier du transfert orbital dans [37]) et contient deux chapitres :

– le Chapitre 4 présente le problème de minimisation de l’énergie du trans- fert orbital qui sera plongé dans un contexte sous-Riemannien [22], géné- ralisation du cadre Riemannien ;

– le Chapitre 5 présente les simulations numériques réalisées.

3. La troisième et dernière partie intitulée Homotopies lisses développe les régularisations du problème mono-entrée par l’outil homotopique [5] et contient deux chapitres :

– le Chapitre 6 présente les processus régularisants utilisés et analyse leur pertinence ;

– le Chapitre 7 utilise les processus introduits dans le chapitre pr´ec´edent et

´etudie les r´esultats obtenus.

Enfin, l’Annexe A présente une méthode constructive de génération de transferts sous-optimaux à partir de [31].

Contributions

Le transfert mono-entrée est un problème nouveau et n’avait pas encore été

étudié auparavant. Ce problème est lié à l’étude de la contrainte de cône [41] dont il est le cas limite. Le transfert mono-entrée est physiquement intéressant à de nombreux titres. La réduction des degrés de liberté de la poussée n’affecte en rien les propriétés de contrôlabilité du transfert et les résultats obtenus montrent que l’on observe une faible dégradation du temps de transfert par rapport au transfert coplanaire bi-entrées.

Le contrôle optimal est discontinu ou “ bang-bang ”, ce qui constitue une différence majeure avec les études précédentes sur le temps minimal sans contrainte sur la direction de poussée. Cela nous amène à considérer des approximations lisses du transfert mono-entrée. Une approximation Riemannienne est obtenue en considérant le transfert moyenné avec minimisation de l’énergie (i.e. norme L²du

(8)

7 contrôle) où la contrainte sur le contrôle est relaxée. Nous connectons également le transfert mono-entrée avec des transferts bi-entrées connus : la contrainte de contrôle reste, mais les contrôles obtenus dans de tels cas sont lisses.

Pour chacune de ces approximations, une analyse fine de l’optimalité est réali- sée. L’étude de la métrique Riemannienne du transfert moyenné est faite et met en évidence le caractère plat des transferts vers les orbites circulaires (dont les orbites géostationnaires sont des exemples) : dans des coordonnées adaptées, les trajectoires minimisantes sont des droites. On étudie également les conditions du deuxième ordre de type point conjugué sur les homotopies lisses.

Collaborations et financements

Ce travail a été réalisé dans l’équipe Algorithmes Parallèles et Optimisation de l’ENSEEIHT-IRIT (IRIT : Institut de Recherche en Informatique de Toulouse, UMR CNRS 5505) et financé par une allocation de recherche du Ministère de l’ Éducation, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche.

Ce travail a été effectué en partie dans le cadre d’un contrat avec le Centre National d’ Études Spatiales (contrat 02/CNES/0257/00) et dans le cadre du réseau d’excellence HYCON¹(contratFP6-IST-511368).

Dans le cadre du programme européen Control Training Site (action Marie- Curie,www.mc-cts.org), j’ai bénéficié de trois mois (novembre 2004, décem- bre 2004 et janvier 2005) de formation à la Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati de Trieste en Italie. Toujours dans le cadre du programmeCTS, j’ai

également bénéficié d’une formation intensive d’une semaine en contrôle optimal non-linéaire à l’ École Nationale des Ponts et Chaussées à Paris en février 2005.

1pour HYbrid CONtrol,www.ist-hycon.org

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(10)

Table des mati`eres

Introduction 5

I Mod`ele et conditions d’optimalit´e 11

1 Le probl`eme de transfert orbital 13

1.1 Mod`ele . . . . 13

1.2 Probl`emes de transfert orbital . . . . 13

1.3 Les deux probl`emes physiques . . . . 14

2 Les conditions nécessaires d’optimalité 17 2.1 Méthode indirecte . . . . 17

2.2 Application du principe du maximum : calcul des extr´emales en transfert orbital . . . . 19

2.3 Conditions du second ordre. ´Equation de JACOBI . . . . 23

3 Transfert orbital : préliminaires géométriques 27 3.1 Equation de K´ EPLERet coordonnées orbitales . . . . 27

3.2 Le probl`eme de contrˆole . . . . 29

II Moyennation 39 4 Le probl`eme de minimisation de l’´energie 41 4.1 Le cadre sous-Riemannien . . . . 41

4.2 La technique de moyennation . . . . 42

4.3 Problème sous-Riemannien associé au moyenné . . . . 44

4.4 Calcul du moyenn´e associ´e au transfert orbital . . . . 44

5 Mise en œuvre pratique et simulation 53 5.1 Les restrictions . . . . 53

5.2 La m´ethode de continuation . . . . 54

(11)

III Homotopies lisses 57

6 Les m´ethodes de continuation 59

6.1 Principe . . . . 59 6.2 Continuations utilisées . . . . 60 6.3 Régularité du chemin de continuation . . . . 62

7 Mise en œuvre pratique et simulations 63

7.1 Algorithme de continuation . . . . 63 7.2 R´esultats . . . . 63

Conclusion 75

Annexes 79

A Construction de transferts d’orbites sous-optimaux 79 A.1 Construction des formes implicites . . . . 79 A.2 Reconstruction de l’´etat `a partir des formes implicites . . . . 82 A.3 Mise en œuvre pratique et simulations . . . . 87

Liste des tableaux 93

Table des figures 96

Bibliographie 96

Remerciements 103

Index 105

(12)

Premi`ere partie

Mod`ele et conditions d’optimalit´e

(13)

(14)

Chapitre 1

Le probl`eme de transfert orbital

1.1 Mod`ele

Soit (I,J,K) un repère Galiléen dont l’origine O est le centre de la Terre et (I,J)est le plan équatorial. Le satellite est assimilé à un point matériel de masse variable m(t)dont la position est notée q= (q1,q2,q3). La notation F(t)désigne la poussée dont l’amplitude est bornée,kF(t)k ≤F_max, et on suppose que la direction de poussée est laissée libre. Siµ est la constante de gravitation terrestre, le système s’écrit :

¨

q=−µ q kqk³+F

m, (1.1)

˙ m=−F

v_e, (1.2)

où veest la vitesse d’éjection des gaz. Le modèle donné par le système d’équations (1.1) est un système de KEPLERcontrôlé. Pour l’étude géométrique du problème, on néglige la variation de masse (1.2) et le modèle est dit à masse constante. Dans le cadre de la poussée faible, l’action du contrôle F/m est petite devant le terme de gravitation−µq/kqk³. En négligeant la variation de masse, on obtient un système de la forme :

x(t) =˙ F0(x(t)) +ε

∑3 i=1

ui(t)F_i(x(t))

où x= (q,q)˙ est l’état, ε est un petit paramètre et les u_i(t) sont les trois com- posantes du contrôle u(t) représentant la décomposition de la poussée selon les directions Fi=∂/∂q˙i, i=1,2,3 etkuk ≤1.

1.2 Probl`emes de transfert orbital

Le problème pratique du cahier des charges duCNESest de transférer le système d’une orbite basse et fortement elliptique à l’orbite géostationnaire. En poussée

(15)

faible, le temps de transfert est long et on observe une déformation lente des pa- ramètres orbitaux décrivant les ellipses osculatrices.

−40 −20 0

20 40

−40

−20 0 20 40

−505

q₁ q₂

q3

−40 −20 0 20 40

−40

−20 0 20 40

q₁

q2

−40 −20 0 20 40

−505

q₂

q 3

Orbite initiale

Orbite finale

Orbite initiale

Orbite finale

FIG. 1.1 – Orbites initiales et finales du transfert vers une orbite géostationnaire La poussée est continue, mais de faible amplitude et donc ε est un petit pa- ramètre d’où l’idée introduite dans [38] d’utiliser des techniques de moyennation.

1.3 Les deux probl`emes physiques

Les deux crit`eres physiques de coˆut sont :

Temps minimal Min

u(·)

Z _T

0

1 dt o`u T est libre.

Maximisation de la masse finale Min

u(·)

Z _T

0

ku(t)kdt o`u T est fix´e.

Dans le second cas, une approximation peut consister `a remplacer la norme L¹

(16)

Chapitre 1. Le probl`eme de transfert orbital 15 du contrˆole par la norme L²:

Minu(·)

Z _T

0

ku(t)k²dt

et à relaxer le contrôle kuk ≤ 1 en choissisant a posteriori un temps de trans- fert T suffisamment grand pour que le contrôle optimal vérifie naturellement la contrainte. On a donc un problème de minimisation de l’énergie, pour un système non linéaire.

Le lien avec la méthode de continuation se fait à deux niveaux. On peut com- mencer par effectuer une continuation sur le paramètre de pousséeε [26] car pour une poussée forte, la loi optimale est plus simple. Puis pour une valeur deεdonnée, on réalise une homotopie du critère L²au critère L¹ [40–42, 50], par exemple selon :

Minu(·)

Z _T

0

(1−λ)ku(t)k²+λku(t)k dt.

(17)

(18)

Chapitre 2

Les conditions n´ecessaires

d’optimalit´e via le principe du maximum

2.1 M´ethode indirecte

Dans un contexte géométrique, le problème de contrôle optimal est analysé par la méthode dite indirecte : on utilise les conditions nécessaires du principe du maximum [32,48,56] pour sélectionner les trajectoires optimales parmi une famille de trajectoires extrémales, solutions d’un système Hamiltonien.

2.1.1 Formulation du principe du maximum On considère un système supposé lisse¹de la forme :

˙

x(t) = f(x(t),u(t))

avec x∈Rⁿ et u(t)∈U domaine de contrôle ainsi qu’un critère à minimiser de la forme :

Minu(·)

Z _T

0 f⁰(x(t),u(t))dt

et des conditions aux limites x(0)∈M0, x(T)∈M1où M0est la variété des condi- tions initiales et M1est la variété cible.

On introduit le pseudo-Hamiltonien :

H(x,p,u) =hp,f(x,u)i+p⁰f⁰(x,u)

où p∈Rⁿ est le vecteur adjoint et p⁰ une constante négative qui est la variable duale du coût. Si(x(·),u(·))est optimal sur[0,T], il existe(p(·),p⁰)6=0 tel que

1lisse au sensC^∞

(19)

les équations (2.1-2.2) et la condition dite de maximisation (2.3) soient vérifiées presque partout sur[0,T]:

x(t) =˙ ∂H

∂p(x(t),p(t),u(t)) (2.1)

˙

p(t) =−∂H

∂x(x(t),p(t),u(t)) (2.2) H(x(t),p(t),u(t)) =Max

v∈U H(x(t),p(t),v) (2.3) De plus M(x(t),p(t)) =Maxv∈UH(x(t),p(t),v)est constant et cette constante est nulle si le temps de transfert est libre.

Enfin le système vérifie les conditions de transversalité : à l’instant initial, p(0)est perpendiculaire à l’espace tangent de M0en x(0)et à l’instant final, p(T) est perpendiculaire à l’espace tangent de M₁en x(T).

Définition 2.1 (Extrémale). On appelle extrémale (respectivement BC-extrémale) un triplet(x(·),p(·),u(·))solution des équations précédentes (respectivement des

équations précédentes et des conditions de transversalité).

2.1.2 Mise en œuvre pratique : la m´ethode de tir

Le calcul de la loi optimale en utilisant le principe du maximum est fond´e sur le principe suivant :

Etape 1´ En un point(x(t),p(t))de la trajectoire, on calcule le contrôle avec la condition de maximisation. Ce contrôle s’exprime comme un feedback dynamique (fonction en général multi-valuée) u(t) =u(x(t),ˆ p(t)).

Etape 2´ Dans le cas où la condition de maximisation conduit à un contrôle unique ˆ

u(x,p), on définit un vrai Hamiltonien ˆH(x,p) =H(x,p,u(x,ˆ p))qui définit par intégration les trajectoires optimales. On applique une méthode de tir, pour calculer le vecteur adjoint initial p₀=p(0), qui doit vérifier les conditions de transversa- lité. Pour le calcul de p0, on doit donc résoudre une équation de tir (non linéaire) S(p₀) =0. Le problème est bien posé car le nombre d’équations de tir co¨ıncide avec le nombre d’inconnues.

2.1.3 Lien avec la m´ethode de continuation

Si l’on veut converger vers la solution, la résolution de l’équation par une méthode de type NEWTON nécessite d’avoir une bonne approximation du vec- teur p(0) initial. Pratiquement, on effectue souvent le calcul en immergeant le problème dans une famille de problèmes à un paramètreλ où l’équation de tir s’écrit S_λ(p0) =0, par exemple λ =ε, module de la poussée, ou en prenant un coût^R₀^T{(1−λ)ku(t)k²+λku(t)k}dt,λ ∈[0,1]pour le transfert orbital.

(20)

Chapitre 2. Les conditions n´ecessaires d’optimalit´e 19

2.2 Application du principe du maximum : calcul des ex- tr´emales en transfert orbital

2.2.1 Temps minimal

Afin de simplifier les calculs, on suppose que la masse est constante. Le syst`eme est de la forme :

x(t) =˙ F0(x(t)) +

∑m i=1

ui(t)F_i(x(t))

et ∑^mi=1u²_i ≤1. On note P_i les Hamiltoniens P_i(x,p) =hp,F_i(x)i et le pseudo- Hamiltonien est :

H(x,p,u) =P0(x,p) +

∑m i=1

uiPi(x,p) +p⁰·1

aveckuk ≤1. On noteΣla surface de commutation d´efinie par : Σ={(x,p)| ∀i∈J1,mK,Pi(x,p) =0}.

En dehors deΣ, la condition de maximisation donne clairement :

∀i∈J1,mK,uˆ_i(x,p) = Pi

sm i=1∑

P_i²

et les trajectoires extrémales associées sont des solutions du système Hamiltonien défini par le Hamiltonien ˆH où :

H(x,ˆ p) =P₀+ sm

i=1∑

P_i².

est le Hamiltonien r´eduit propre au temps minimal.

Ces extr´emales sont donc lisses. Pour avoir toutes les extr´emales, il faut aussi

´etudier celles contenues dansΣet les jonctions possibles entre les trajectoires de ˆH en passant parΣ.

On utilise ici le principe du maximum pour r´ealiser la stratification des trajec- toires extr´emales.

2.2.2 Minimisation de l’´energie

On suppose ici que la masse est constante. Le pseudo-Hamiltonien associ´e est : H(x,p,u) =P₀+

∑m i=1

u_iP_i+p⁰

∑m i=1

u²_i. On a deux cas :

(21)

– le cas normal où p⁰<0 et par homogénéité, on peut utiliser la normalisation p⁰=−1/2 ;

– le cas anormal o`u p⁰=0.

Dans le cas normal, la condition de maximisation de H en u avec u∈U =R^m donne∂H/∂u=0, et∂H/∂u_i=0 implique u_i=P_i. On obtient donc dans ce cas le vrai Hamiltonien :

H(x,ˆ p) =P0+1 2

∑m i=1

P_i². (2.4)

2.2.3 Cas de maximisation de la masse

Remarque 2.1. Bien que le principe du maximum soit formulé page 17 pour un système lisse, seule la continuité par rapport au contrôle est effectivement requise, ce qui est le cas ici.

Dans ce cas, il faut prendre en compte l’équation de la variation de la masse (1.2) page 13 et la condition de maximisation est plus complexe et conduit à une po- litique de contrôle dont la caractéristique est d’avoir une concaténation de contrôles où la poussée est maximale ou nulle, ceci donnant donc, même génériquement, un contrôle optimal discontinu, ce qui affecte numériquement la méthode de tir.

Les calculs sont extraits de [41] et sont les suivants. Le système est décomposé en :

˙ q=v

˙

v=−µ q kqk³+uε

m , kuk ≤1

˙

m=−β εkuk

et le crit`ere est f0=^R₀^Tku(t)kdt. Le Hamiltonien se d´ecompose en : H=p⁰kuk −β εkukp_m+vp_q+ε

mhu,p_vi − µ

kqk³hq,p_vi.

Consid´erons le cas normal o`u p⁰6=0. En renormalisant p⁰ =−1, on doit donc calculer pourkuk ≤1 le maximum de la fonction−kuk −β εkukp_m+εhu,p_vi/m.

Regardons pour simplifier le cas scalaire avec pv6=0. On a donc `a maximiser une fonction du type f(u) =−|u|+au o`u on peut supposer a>0. L’examen du graphe (voir FIG. 2.1) montre que si a−1>0, le maximum est atteint pour u=1 et si a−1<0, le maximum est atteint pour u=0.

Dans le cas g´en´eral, on poseχ=−1−β εpm+εkp_vk/m et on a :

– siχ >0, le maximum est atteint pour u=p_v/kp_vk, la pouss´ee ´etant maxi- male ;

– siχ<0, le maximum est atteint pour u=0 et c’est donc une pouss´ee nulle.

2.2.3.1 Preuve heuristique du principe du maximum de PONTRYAGIN

Pour comprendre le principe du maximum, on peut esquisser la preuve dans le cas suivant dit faible.

(22)

−1 1

u f(u)

(a) a−1<0

−1 1

u f(u)

(b) a−1>0

FIG. 2.1 – Graphe de la fonction u7→ −|u|+au sur[−1,1]

Hypothèse. Le domaine de commande U est tel que si u(·) est un contrôle alors u(·) +δu(·)est admissible, où la variationδu(·)est petite dans L^∞([0,T],R^m).

C’est le cas en transfert orbital où U =R³ pour le problème de minimisation de l’énergie et pour le problème de minimisation du temps où u∈U=S²(on passe en coordonnées locales).

Esquisse de la preuve. On consid`ere :

˙

x=f(x,u),u∈U , Min Z _T

0

f⁰(x(t),u(t))dt

On introduit le système augmenté dont l’état est ˆx= (x,x⁰) avec ˙x⁰ = f⁰(x,u) et x⁰(0) =0 que l’on écrit ˙ˆx = fˆ(x,ˆ u) et l’ensemble des contrôles admissibles U est l’ensemble des applications mesurables bornées à valeurs dans U . On note

ˆ

x(t,xˆ0,u)la r´eponse et

Aˆ(xˆ₀,T) = ^[

u(·)∈U

ˆ

x(T,xˆ₀,u)

l’ensemble des états accessibles à temps T du système augmenté.

Si la trajectoire x(·) est optimale, alors le point ˆx(T) final du système aug- menté appartient à la frontière deAˆ(x(0),ˆ T). Fixons ˆx(0) =xˆ0et T et introduisons l’application extrémité du système augmenté, Ê : u(·)7→x(T,ˆ xˆ0,u), de sorte que E(ˆ U)soit exactementAˆ(x(0),ˆ T). Dans le cas où ˆf est lisse, d’après le théorème de l’application ouverte, ˆE est dérivable. De plus si la trajectoire associée à u(·)est optimale, alors elle est extrémale dans le sens rang Ê_u⁰ <n+1 et Ê⁰ est la dérivée de FRECHET´ calculée pour la norme du sup.

Le calcul de la derivée s’effectue comme suit. Pour alléger les notations, on remplacera ˆx par x (on notera n la dimension de x) et ˆf par f . Ainsi x(·) est la réponse à u(·)et on note x(·) +δx(·)la réponse à u(·) +δu(·):

˙

x+δ˙x= f(x+δx,u+δu).

(23)

En identifiant les termes jusqu’au premier ordre, on obtient :

˙

x= f(x,u), δ˙x=∂f

∂x(x,u)δx+∂f

∂u(x,u)δu,

où la seconde équation est l’équation aux variations du système contrôlé. On a δx(0) =0 car x(0) = (x+δx)(0) =x₀et la solution s’écrit en t=T :

δx(T) =Φ(T) Z _T

0 Φ(s)⁻¹B(s)δu(·)ds

o`uΦest la solution de l’´equation ˙Φ(t) =A(t)Φ(t)telle queΦ(0) =Id et : A(t) =∂f

∂x(x(t),u(t)), B(t) =∂f

∂u(x(t),u(t)).

Dans le cas extr´emal, on a dim{Φ(T)^R₀^TΦ(s)⁻¹B(s)δu(·)ds}<n et il existe un vecteur (ligne) non nul p∈(Rⁿ)^∗orthogonal `a l’image de E_u⁰ i.e. :

pΦ(T) Z _T

0 Φ(s)⁻¹B(s)δu(·)ds=0 ce qui ´equivaut `a :

pΦ(T)Φ(s)⁻¹B(s) =0 presque partout.

On introduit la fonction vectorielle (ligne) p : t7→ p(t) = pΦ(T)Φ(t)⁻¹. En no- tant H(x,p,u) =hp,f(x,u)i, on obtient le principe du maximum dans sa version faible :

˙

x(t) = f(x(t),u(t)) = ∂H

∂p(x(t),p(t),u(t))

˙

p(t) =−p(t)A(t) =−∂H

∂x(x(t),p(t),u(t)) 0= p(t)B(t) = ∂H

∂u(x(t),p(t),u(t)).

Remarque 2.2. On obtient ici l’interprétation géométrique de p(t). En notant E_u⁰

|[0,t]

la dérivée où u est restreint à[0,t] avec t ≤T , le vecteur p(t) est orthogonal à l’image de cette dérivée (voir FIG. 2.2).

(24)

x(0)

x(t)

A(x(0),t) =E_|[0,t](U)

Im E_u|[0,t]⁰

p(t)

FIG. 2.2 – Caractérisation géométrique de p(t).

2.3 Conditions du second ordre. Équation de JACOBI On peut observer que même dans le cas où le domaine de commande U est ou- vert, la condition de maximisation de H conduit à∂H/∂u=0 de la version faible, mais de plus on obtient une condition du second ordre qui est la condition de LE-

GENDRE:∂²H/∂u²≤0. Cette condition est en général insuffisante pour conclure sur l’optimalité, lorsque le temps de transfert T est grand. On doit alors comme dans le calcul des variations classiques introduire un concept de point conjugué.

C’est une notion qui s’introduit avec la variation seconde de l’application extrêmité mais qui a aussi une interprétation géométrique en utilisant le flot extrémal. Pour simplifier la présentation, on se limite ici au problème du temps minimal, avec des hypothèses restrictives (l’extrémale de référence étant injective).

2.3.1 Hypoth`eses

On consid`ere un syst`eme lisse de Rⁿ: ˙x= f(x,u), u∈U et on suppose que le domaine de commande U est ouvert.

D’après l’analyse faite plus haut, dans le cas du temps minimal, si A(x₀,T) est l’ensemble des états accessibles en temps T du système, une trajectoire t7→

(x(t),u(t)), t∈[0,T]minimale en temps est telle que pour 0<t≤T , x(t)appar- tient à la frontière de A(x₀,t). De plus, u_|[t₀_,t₁_] est une singularité de l’application extrêmité avec 0<t0<t1≤T calculée avec x0=x(t0) à l’instant t1−t₀. On note k(t0,t1)la codimension de la singularité. La première hypothèse est :

Hypothèse 2.1. Le problème est fortement régulier, c’est-à-dire que k(t0,t1) =1 pour 0<t₀<t₁≤T .

La seconde hypoth`ese consiste `a renforcer la condition de LEGENDRE:

(25)

Hypoth`ese 2.2. Avec H(x,p,u) =p⁰·1+hp,f(x,u)i, la condition de LEGENDRE

forte le long de(x(·),u(·))est v´erifi´ee :

∂²H/∂u²<0.

On peut alors résoudre∂H/∂u=0 avec le théorème des fonctions implicites et calculer localement un contrôle extrémal comme un feedback dynamique ˆu(x,p) et on note ˆH(x,p) =H(x,p,u(x,ˆ p)). Cette résolution est locale et on doit aussi imposer que ˆu est un maximum global de H.

Hypoth`ese 2.3. On est dans le cas normal, i.e. p⁰6=0.

2.3.2 D´efinitions

Sous les hypothèses précédentes, on introduit la définition suivante :

Définition 2.2 (Dérivée seconde intrinsèque). Soit Ex0,t est l’application extre- mité à l’instant 0<t≤T . On appelle E_t⁰⁰la dérivée seconde intrinsèque la restric- tion de la variation seconde au noyau de E_x⁰₀_,t(u)(où u est le contrôle extrémal de référence) et projetée sur{Im E_x⁰

0,t(u)}^⊥.

Son calcul explicite est ais´e avec l’´evaluation de la variation seconde et {Im E_x⁰

0,t(u)}^⊥ est un espace vectoriel de dimension un donné par Rp(t)d’après l’interprétation géométrique du vecteur adjoint (Remarque 2.2 page 22). On peut donner une première définition de la notion de point conjugué.

Définition 2.3 (Point conjugué). On appelle temps conjugué le long de l’extrémale de référence un instant 0<tc≤T où la dérivée seconde intrinsèque, vue en tant que forme quadratique, admet une valeur propre nulle. Le point x(t_c)s’appelle un point conjugué à x₀=x(0).

On présente maintenant la caractérisation géométrique.

Définition 2.4 (Point conjugué géométrique). Soit H(x,p)un Hamiltonien lisse et z(·) = (x(·),p(·))une trajectoire de −→

H définie sur[0,T]. On appelle équation de JACOBIle long de z(·)l’équation aux variations

δ˙z(t) =d−→

H(z(t))·δz(t).

Un champ de JACOBI est une solution non-triviale J(·) de cette ´equation. En notant J(·) = (δx(·),δp(·)), on dit que J est vertical `a l’instant t siδx(t) =0.

Le temps t_cet le point correspondant x(t_c)sont dits géométriquement conjugués

`a 0 et x(0)respectivement s’il existe un champ de JACOBIvertical aux instants t=0 et t=tc.

(26)

Chapitre 2. Les conditions n´ecessaires d’optimalit´e 25 p

x(0) x(t_c) x

p(0)∈P

exp_x(0)(P,0)

exp_x(0)(P,t_i)

exp_x(0)(P,t_c)

champ central



 y

x(0)

x(t_c)

champ central

FIG. 2.3 – Point conjugu´e et champ central

Définition 2.5 (Application exponentielle). Soit H(x,p)un Hamiltonien lisse. On note exp_x₀ :(p,t)7→x(t,x₀,p₀)l’application exponentielle définie sur un ouvert de T_x^∗₀X×R où z(t,x0,p0) = (x(t,x0,p0),p(t,x0,p0))est la trajectoire de−→

H de condition initiale(x0,p0). Son image s’appelle un champ central (voir FIG. 2.3).

On adopte la convention suivante. Le Hamiltonien du temps minimal qui s’écrit H(x,p,u) =hp,f(x,u)i+p⁰ est identiquement nul car le temps de transfert est libre. Avec nos hypothèses on peut choisir p⁰=−1 et le vecteur p est donc nor- malisé par la conditionhp,f(x,u)i=1, ce qui restreint, pour tout temps t, le do- maine de exp_x₀(·,t)et les variationsδp(0)à une hypersurface de Rⁿ\{0}. Les trois concepts précités sont alors reliés via le résultat suivant :

Proposition 2.6. Sous les hypothèses précédentes, la trajectoire x(t)estC⁰-opti- male sur[0,T]si une des conditions suivantes est vérifiée :

(i) Il n’existe pas de point conjugu´e sur[0,T].

(ii) Il n’existe pas de point conjugué géométrique sur[0,T].

(27)

(iii) L’application exp_x₀ est une immersion.

De plus, si t>t_1coù t_1cest le premier temps conjugué, la trajectoire x(·)n’est pas minimale en temps pour la topologie L^∞sur l’espace des contrôles.

La justification de ce résultat technique se trouve dans [20]. Nous présentons ici l’algorithme pour calculer les points conjugués.

2.3.3 Algorithme

On choisit une base(e_i)_ide l’espace de dimension n−1 des champs verticaux en x₀. Soit J_i(·) = (δx_i(·),δp_i(·))les champs de JACOBI associés àδp_i(0) =e_i. En dehors d’un point conjugué, le rang de(δx1(t), . . . ,δxn−1(t))est n−1 et en un point conjugué, il est inférieur ou égal à n−2 : ce qui permet en particulier de calculer le premier point conjugué le long de notre extrémale de référence.

2.3.4 Champ central et fonction de tir

Un point important est que, sous les hypothèses précédentes, en immergeant la trajectoire extrémale de référence dans un champ central issu de x0, on obtient l’optimalité au sensC⁰, mais aussi un estimé du tubeT où cette optimalité est vraie. Sur ce domaine, l’équation de tir S(p0) =x1 admet une solution unique, calculée avec le théorème des fonctions implicites car le rang de S est maximum et le vecteur adjoint initial p(0)est une fonction lisse de x₁.

(28)

Chapitre 3

Transfert orbital : préliminaires géométriques

On va présenter les éléments fondamentaux du système décrivant le transfert orbital en poussée faible.

3.1 Equation de K´ EPLERet coordonn´ees orbitales

Le système libre est décrit par l’équation

¨

q=−µ q kqk³ et possède trois intégrales premières classiques :

– le moment cin´etique c=q∧q ;˙ – l’int´egrale de LAPLACEL=−µ q

kqk+q˙∧c ; – l’´energie H(q,q) =˙ 1

2q˙²− µ kqk.

On définit le vecteur excentricité−→e par la relation L=µ−→e . Proposition 3.1 (Propriétés du système).

(i) On ahL,ci=0. Si c6=0, L est contenu dans le plan du mouvement.

(ii) On a L²=µ²+2Hc².

(iii) Le cas c=0 correspond `a une collision. Si c6=0 : – soit L=0 et le mouvement est circulaire uniforme ;

– soit L6=0 et H<0, la trajectoire est une ellipse donn´ee par :

|q|= c²

µ+kLkcos(θ−θ0), avecθ0argument du p´erig´ee.