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Sur la géométrie des transferts orbitaux
Jean-Baptiste Caillau
To cite this version:
Jean-Baptiste Caillau. Sur la géométrie des transferts orbitaux. Mathématiques [math]. Institut
National Polytechnique de Toulouse - INPT, 2006. �tel-00125863v2�
Sur la g´ eom´ etrie des transferts orbitaux
Jean-Baptiste Caillau
ENSEEIHT-IRIT (UMR CNRS 5505) Institut National Polytechnique de Toulouse
M´ emoire d’habilitation ` a diriger des recherches pr´ esent´ e le 1er d´ ecembre 2006 devant le jury compos´ e de
MM. A. Agrachev Rapporteurs B. Bonnard
J.-M. Coron
MM. J. Baillieul Examinateurs P. Legendre
J. Noailles
M. R. Roussarie Pr´ esident
A Joseph Noailles `
Tous les noms,
tous les noms ardus, impossibles des herbes folles du printemps
Shadˆ o
Contents
Introduction iii
Remerciements v
1 Temps minimal 1
1.1 Contrˆ olabilit´ e . . . . 1
1.2 Extr´ emales en sous-riemannien avec d´ erive . . . . 4
1.3 Points conjugu´ es, cas r´ egulier . . . . 7
1.4 Extr´ emales en mono-entr´ ee affine . . . . 10
1.5 Points conjugu´ es, cas singulier mono-entr´ ee affine . . . . 13
2 Energie minimale ´ 15 2.1 Moyennation . . . . 15
2.2 Probl` emes sous-riemanniens p´ eriodiques . . . . 17
2.3 Int´ egrabilit´ e et courbure du moyenn´ e . . . . 19
2.4 Analyse dans les demi-plans m´ eridiens . . . . 22
2.5 Points conjugu´ es, analyse globale . . . . 27
Introduction
Ce m´ emoire est une synth` ese des travaux r´ ef´ erenc´ es en fin de document et consacr´ es au contrˆ ole optimal des transferts orbitaux. Le mod` ele est l’´ equation de Kepler contrˆ ol´ ee,
¨ q = − q
|q| 3 + F, q ∈ R 3 \{0},
o` u q est la position dans un r´ ef´ erentiel fixe (i, j, k) de l’objet (assimil´ e ` a un point mat´ eriel) que l’on souhaite contrˆ oler, et o` u F est le contrˆ ole que l’on exerce. Il s’agit en pratique de la pouss´ ee du moteur d’un engin spatial, limit´ ee par une contrainte du type
|F | ≤ F max .
On donne ici le mod` ele sous sa forme la plus simple : outre le fait qu’on a, sans perte de g´ en´ eralit´ e, normalis´ e la constante de gravitation traduisant l’origine du champ central, on a entre autres approximations suppos´ e la masse de l’objet contrˆ ol´ e constante. Les mod` eles plus r´ ealistes utilis´ es dans les sim- ulations num´ eriques dont sont tir´ es certains des r´ esultats qui seront pr´ esent´ es prennent ´ evidemment en compte les variations de cette masse (dues par exemple
`
a la consommation de carburant). Pour des valeurs appropri´ ees de la position et de la vitesse, la trajectoire libre est une ellipse ou orbite. Le probl` eme du transfert consiste alors ` a faire passer l’objet contrˆ ol´ e d’une orbite initiale ` a une orbite terminale en minimisant un certain coˆ ut. On s’int´ eressera tout partic- uli` erement au probl` eme du temps minimal, crucial quand la pouss´ ee maximale F max dont on dispose est tr` es petite.
Si q× q ˙ est non nul, la pouss´ ee peut ˆ etre d´ ecompos´ ee dans le rep` ere tangentiel- normal selon F = u t F t + u n F n + u c F c avec
F t = q ˙
| q| ˙
∂
∂ q ˙ , F c = q × q ˙
|q × q| ˙
∂
∂ q ˙ ,
et F n = F c × F t . Un autre rep` ere local utilis´ e dans la suite est le rep` ere radial- orthoradial dans lequel F = u r F r + u or F or + u c F c avec
F r = q
|q|
∂
∂ q ˙ , F or = F c × F r .
Si la composante u c du contrˆ ole est nulle, le syst` eme est dit coplanaire et reste
dans le plan osculateur constant engendr´ e par q et ˙ q. Deux int´ egrales premi` eres
classiques du mouvement libre sont le moment angulaire, c = q × q, et le ˙ vecteur
de Laplace, L = − |q| q + ˙ q × c. Toujours en supposant le moment angulaire non
nul, la trajectoire est circulaire si L = 0, elliptique (non d´ eg´ en´ er´ ee) si L 6= 0 et
si l’´ energie E = ˙ q 2 /2 − 1/|q| est strictement n´ egative. Le domaine elliptique X est en cons´ equence d´ efini par
X = {(q, q) ˙ | E < 0, c 6= 0}.
On introduit sur ce domaine les coordonn´ ees g´ eom´ etriques [60, 66] qui d´ e- crivent l’orbite osculatrice : les trois angles d’Euler du plan osculateur dans le rep` ere (i, j, k), Ω (pr´ ecession ou longitude du nœud ascendant), i (nutation ou inclinaison ), et ω (rotation propre ou argument du p´ ericentre), et deux param` etres d´ eterminant la forme de l’ellipse, par exemple a (demi-grand axe) ou P (param` etre), et e (excentricit´ e). La derni` ere coordonn´ ee est la longitude l, qui permet de rep´ erer la position de l’objet sur l’ellipse. Dans ces coordonn´ ees,
X = {e < 1} × S 1 ,
et la structure de fibr´ e trivial de fibre S 1 du domaine est claire. Au voisinage des orbites circulaires ou coplanaires, on d´ esingularise les coordonn´ ees en posant
e x = e cos(ω + Ω), h x = tan(i/2) cos Ω, e y = e sin(ω + Ω), h y = tan(i/2) sin Ω.
Le vecteur excentricit´ e (e x , e y ) est colin´ eaire ` a L, et (h x , h y ) dirige l’intersection du plan osculateur avec le plan ´ equatorial (i, j).
La pr´ esentation des r´ esultats est organis´ ee en deux chapitres : le premier est consacr´ e au temps minimal, le second ` a la moyennation du probl` eme de la minimisation de l’´ energie. L’action du contrˆ ole peut ˆ etre consid´ er´ ee comme la perturbation d’un syst` eme int´ egrable, perturbation dont la moyennation fournit une approximation dont on v´ erifie qu’elle est encore int´ egrable.
Un objet fondamental dans l’´ etude est l’application exponentielle d´ efinie
par le flot extr´ emal du probl` eme de contrˆ ole. Ses propri´ et´ es renseignent sur
l’existence de solution, ainsi que sur l’optimalit´ e locale ou globale des extr´ emales
du probl` eme. Parmi les r´ esultats obtenus, on peut citer la mise en ´ evidence
de l’existence de Π-singularit´ es et de points conjugu´ es en temps minimal, la
platitude de la m´ etrique associ´ ee par la moyennation au transfert ` a ´ energie
minimale vers les orbites circulaires (les trajectoires optimales sont des droites),
ainsi que la caract´ erisation du lieu de coupure du moyenn´ e par comparaison
avec la restriction de la m´ etrique plate ` a un ellipso¨ıde de r´ evolution.
Remerciements
L’enseignement et la confiance de Joseph Noailles, professeur ` a l’Institut Na- tional Polytechnique de Toulouse, sont ` a l’origine de cette ´ etude. Ce m´ emoire lui est d´ edi´ e.
Les deux rapporteurs externes de ce travail sont Andrei Agrachev, professeur
`
a l’International School for Advanced Studies, et Jean-Michel Coron, professeur
`
a l’Universit´ e Paris-Sud. Qu’ils re¸ coivent l’expression de ma gratitude pour leur soutien.
Mes remerciements vont ´ egalement ` a John Baillieul, professeur ` a l’Universit´ e de Boston, qui a accept´ e d’ˆ etre examinateur de cette habilitation, et ` a Robert Roussarie, professeur ` a l’Universit´ e de Bourgogne, qui en a pr´ esid´ e le jury.
Le Centre National d’ ´ Etudes Spatiales est un partenaire privil´ egi´ e de l’´ equipe Algorithmes Parall` eles & Optimisation de l’ENSEEIHT depuis de nombreuses ann´ ees. Que les personnes avec qui nous avons travaill´ e, repr´ esent´ ees dans ce jury par Paul Legendre, soient remerci´ ees.
Enfin et surtout, merci Bernard.
Chapter 1
Temps minimal
1.1 Contrˆ olabilit´ e
En coordonn´ ees cart´ esiennes, ˙ x = F 0 (x) + F avec x = (q, q), ˙ F 0 = ˙ q∂/∂q − q/|q| 3 ∂/∂ q, ˙ F ´ etant la pouss´ ee. Cette derni` ere peut ˆ etre d´ ecompos´ ee dans l’un des rep` eres locaux, tangentiel-normal ou radial-orthoradial. On peut ensuite se restreindre ` a une seule direction de pouss´ ee et consid´ erer le syst` eme mono- entr´ ee affine ˙ x = F 0 (x) + uF 1 (x). Le calcul de l’alg` ebre de Lie correspon- dante, Lie{F 0 , F 1 }, permet de comprendre l’action sp´ ecifique de chaque moteur, sachant que l’on peut avoir en pratique des contraintes astreignant par exemple la pouss´ ee ` a rester dans un cˆ one (voir [38] pour le cas o` u ce cˆ one est dirig´ e par la vitesse). L’effet d’une force oppos´ ee ` a F t et d’intensit´ e proportionnelle ` a ρ q ˙ 2 – o` u ρ est la densit´ e de l’atmosph` ere – traduit par ailleurs classiquement une force de traˆın´ ee en m´ ecanique spatiale. Dans ce qui suit, l’orbite d’un point est la vari´ et´ e int´ egrale associ´ ee ` a la distribution involutive engendr´ ee par les deux champs de vecteurs choisis.
Dans le cas d’une pouss´ ee dirig´ ee selon F t , on a un syst` eme coplanaire et on note r = |q|, v = ˙ q = (v 1 , v 2 ). Le crochet de Lie de deux champs de vecteurs est le commutateur [X, Y ] = XY − Y X . Dans la mesure o` u les trajectoires singuli` eres qu’on calculera au 1.4 sont feedback-invariantes [28], on pose u 0 = u/|v| et on r´ e´ ecrit le syst` eme sous la forme
˙
x = F 0 (x) + u 0 F t 0 (x) avec F t 0 = v∂/∂v. On obtient
[F 0 , F t 0 ] = −v ∂
∂q − q r 3
∂
∂v , [F t 0 , [F 0 , F t 0 ]] = −F 0 ,
[F 0 , [F 0 , F t 0 ]] = 2q r 3
∂
∂q + 2
r 5 (2q 2 1 − q 2 2 )v 1 + 3q 1 q 2 v 2 ∂
∂v 1
+ 2
r 5 3q 1 q 2 v 1 + (2q 2 2 − q 2 1 )v 2 ∂
∂v 2
,
de sorte que les champs de vecteurs F 0 , F t 0 , [F 0 , F t 0 ], [F 0 , [F 0 , F t 0 ]] forment une
base puisque q × q ˙ 6= 0. Comme la d´ erive du syst` eme est p´ eriodique, le r´ esultat
de contrˆ olabilit´ e en d´ ecoule [48].
Proposition 1. Le syst` eme mono-entr´ ee affine x ˙ = F 0 (x) + uF t (x), |u| ≤ 1 est contrˆ olable sur le domaine elliptique coplanaire.
Dans le cas d’une pouss´ ee normale, F n = − v 2
|v|
∂
∂v 1 + v 1
|v|
∂
∂v 2 , et on v´ erifie non seulement que
[F 0 , F n ] = − (q × v) × v
|(q × v) × v|
∂
∂q − v |q × v|
r 3 |v| 3
∂
∂v ,
mais aussi que les crochets de longueur trois sont contenus dans Vect{F 0 , F n }.
Proposition 2. L’orbite d’un point tel que q × q ˙ 6= 0 ` a travers le syst` eme
˙
x = F 0 (x) + uF n (x), |u| ≤ 1, est de dimension trois et form´ ee par l’intersection du domaine elliptique coplanaire avec le plan osculateur {a = a(0)}.
Concerne la pouss´ ee hors-plan, dirig´ ee par F c , on observe que ni le demi- grand axe ni l’excentricit´ e ne sont contrˆ olables, le cas e = 0 ´ etant singulier (orbites circulaires). Plus pr´ ecis´ ement,
[F 0 , F c ] = − q × v
|q × v|
∂
∂q , [F 0 , [F 0 , F c ]] = − 1
r 3 F c , [F c , [F 0 , F c ]] = (q × v) × q
|q × v| 2
∂
∂q + (q × v) × v
|q × v| 2
∂
∂v , [F 0 , [F c , [F 0 , F c , ]]] = 0,
[F c , [F c , [F 0 , F c , ]]] = − r 2
|q × v| 2 [F 0 , F c ] + q · v
|q × v| 2 F c .
On v´ erifie (i) que les vecteurs F 0 , F c et [F 0 , F c ] sont ind´ ependants, (ii) que F 0 , F c , [F 0 , F c ] et [F c , [F 0 , F c ]] forment une base de Lie{F 0 , F c } si et seulement si L(0) 6= 0 (o` u L est le vecteur de Laplace), et que (iii) l’alg` ebre de Lie engendr´ ee par le syst` eme est de dimension finie ´ egale ` a trois si L(0) = 0. On en d´ eduit les orbites correspondantes.
Proposition 3. On consid` ere le syst` eme x ˙ = F 0 (x) + uF c (x), |u| ≤ 1. Si L(0) 6= 0, l’orbite est de dimension quatre et form´ ee par l’intersection du do- maine elliptique avec {a = a(0), e = e(0) 6= 0}. Si L(0) = 0, l’orbite est de dimension trois et constitu´ ee de l’intersection du domaine elliptique avec {a = a(0), e = e(0) = 0}.
Dans le cas d’une d´ ecomposition de la pouss´ ee dans le rep` ere local radial- orthoradial, on a
F 0 = v ∂
∂q − q µ r 3
∂
∂v , F r = q
r
∂
∂v , F or = q 2
r
∂
∂v 1 − q 1
r
∂
∂v 2 ,
et on introduit comme pr´ ec´ edemment le feedback u 0 = u/r (et F r 0 = rF r , F or 0 = rF or ). Dans le cas d’une pouss´ ee radiale seule, tout d’abord, les crochets de longueur trois sont donn´ es par
[F 0 , F r 0 ] = −q ∂
∂q + v ∂
∂v , [F 0 , [F 0 , F r 0 ]] = −(q + v) ∂
∂q − q r 3
∂
∂v , [F r 0 , [F 0 , F r 0 ]] = 2F r 0 ,
et l’on d´ eduit la description des orbites ci-apr` es.
Proposition 4. Soit x ˙ = F 0 (x) + uF r (x), |u| ≤ 1. L’alg` ebre de Lie engendr´ ee par F 0 et F r est dimension trois et F 0 , F r , [F 0 , F r ] forment une base. L’orbite est donn´ ee par l’intersection du domaine elliptique avec le plan osculateur et {P = P (0)} o` u P est le param` etre.
Pour une pouss´ ee orthoradiale, enfin, on a [F 0 , F or 0 ] = −q 2
∂
∂q 1
+ q 1 ∂
∂q 2
+ v 2 ∂
∂v 1
− v 1 ∂
∂v 2
, [F 0 , [F 0 , F or 0 ]] = 2
−v 2 ∂
∂q 1 + v 1 ∂
∂q 2 − q 2
r 3
∂
∂v 1 + q 1
r 3
∂
∂v 2
, [F or 0 , [F 0 , F or 0 ]] = −2F r 0 ,
et
D 0 = F or 0 ∧ [F 0 , F or 0 ] ∧ [F 0 , [F 0 , F or 0 ]] ∧ F 0 = 2(v ∧ q)(|v| 2 + 1 r ), D 1 = F or 0 ∧ [F 0 , F or 0 ] ∧ [F or , [F 0 , F or 0 ]] ∧ F 0 = −2r 2 q · v.
On en tire particulier (i) que les vecteurs F 0 , F or 0 , [F 0 , F or 0 ], [F 0 , [F 0 , F or 0 ]] forment une base de l’alg` ebre de Lie engendr´ ee par F 0 et F or 0 , (ii) que F 0 , F or 0 , [F 0 , F or 0 ] et [F or 0 , [F 0 , F or 0 ]] sont lin´ eairement ind´ ependants si et seulement si q · v 6= 0, c’est-` a-dire en dehors des p´ ericentres et apocentres.
Proposition 5. Le syst` eme x ˙ = F 0 (x) + uF or (x), |u| ≤ 1 est contrˆ olable sur le domaine elliptique coplanaire.
Notons pour finir l’existence de trajectoires temps minimales comme cons´ e- quence du th´ eor` eme de Filippov, quelle que soit la contrainte sur le module de la pouss´ ee. En effet, le champ des vitesses est convexe et born´ e par la contrainte sur le contrˆ ole et le fait que q/r 3 → 0 quand r → ∞, ` a condition de se restreindre
`
a une boule de s´ ecurit´ e autour de la collision q = 0.
Proposition 6. Etant donn´ ´ es deux points du domaine elliptique appartenant ` a une mˆ eme orbite du syst` eme consid´ er´ e, soit r 1 la distance ` a la collision d’une trajectoire les joignant. Il existe alors une trajectoire temps minimale reliant ces deux points et telle que |q| ≤ r 1 .
Une telle trajectoire peut a priori poss` eder des arcs fronti` eres o` u la con-
trainte |q| ≤ r 1 devient active. On suppose en pratique que ce n’est pas le cas
afin d’utiliser la version classique du principe du maximum sans contraintes
sur l’´ etat. Une approche constructive permettant d’obtenir des trajectoires coplanaires admissibles est ´ egalement possible [38], l’id´ ee de d´ epart ´ etant la re- marque suivante : une trajectoire (P, e x , e y ) param´ etr´ ee par la longitude v´ erifie la dynamique de Kepler (au sens o` u il existe un contrˆ ole dont elle soit la r´ eponse) si et seulement si
(1/P ) 0 + (e x /P ) 0 cos l + (e y /P ) 0 sin l = 0, o` u 0 = d/dl.
Les cons´ equences de la structure des alg` ebres de Lie qui viennent d’ˆ etre d´ ecrites sur les extr´ emales des syst` emes mono-entr´ ee affines associ´ es sont d´ e- taill´ ees au 1.4. On analyse auparavant les extr´ emales du cas multi-entr´ ee (deux contrˆ oles en coplanaire, trois en non-coplanaire).
1.2 Extr´ emales en sous-riemannien avec d´ erive
L’ensemble des contrˆ oles admissibles pour le probl` eme du temps minimal du syst` eme lisse
˙
x = f (x, u), x ∈ X, u ∈ U
o` u X est une vari´ et´ e de dimension n, U une vari´ et´ e (´ eventuellement avec bord) de dimension m, est l’ensemble des (classes de) fonctions localement (essentielle- ment) born´ ees ` a valeurs dans U ,
U = {u ∈ L ∞ loc (R) | u ∈ U p.p.}.
Etant donn´ ´ ees des extr´ emit´ es fix´ ees x 0 , x f , et un contrˆ ole optimal u de temps minimal t f et de r´ eponse x, le principe du maximum assure l’existence d’une paire non triviale (p 0 , p) o` u p 0 est une constante n´ egative et p une fonction absolument continue telle que, si on d´ efinit le (pseudo) hamiltonien du probl` eme (param´ etr´ e par p 0 ) sur T ∗ X × U par
H (x, p, u) = p 0 + hp, f (x, u)i, on a, presque partout sur [0, t f ], d’une part
˙ x = ∂H
∂p (x, p, u), p ˙ = − ∂H
∂x (x, p, u), d’autre part
H (x, p, u) = max
v∈U H (x, p, v).
L’homog´ en´ eit´ e en (p 0 , p) conduit ` a normaliser le couple soit par p 0 = −1 si p 0 6= 0 (extr´ emale normale), soit par |p(0)| = 1 si p 0 = 0 (extr´ emale anormale).
On dispose en temps minimal d’une condition suppl´ ementaire qui fixe le niveau du hamiltonien le long de l’extr´ emale : H = 0 (de sorte qu’on peut aussi fixer
|p(0)| ` a un dans le cas normal).
On appelle probl` eme sous-riemannien avec d´ erive le probl` eme du temps minimal pour un syst` eme lisse de la forme
˙
x = F 0 (x) + X
i=1
u i F i (x)
o` u u appartient ` a U = B m−1 , la boule unit´ e de R m , avec m au moins ´ egal
`
a deux (si m = 1, ∂U = {−1, 1} n’est pas lisse, et on a un probl` eme affine mono-entr´ ee, voir 1.4). Le probl` eme du transfert en temps minimal appartient clairement ` a cette classe. On d´ efinit alors le rel` evement hamiltonien de chaque champ de vecteurs,
H i = hp, F i (x)i, i = 0, . . . , m, et on note Σ la surface de commutation
Σ = {H 1 = · · · = H m = 0}.
La classification des extr´ emales se fait selon l’ordre du contact avec la sur- face de commutation [41], ce qui revient ` a stratifier cette derni` ere. Soit donc z 0 = (x 0 , p 0 ) n’appartenant pas ` a Σ (contact d’ordre z´ ero) : la condition de maximisation du hamiltonien H = p 0 + H 0 + P m
i=1 u i H i implique que u i = H i
pP m
i=1 H i 2 , i = 1, . . . , m
au voisinage du point. En injectant le feedback dynamique ainsi d´ efini dans le hamiltonien, on forme le vrai hamiltonien (encore not´ e H ) sur T ∗ X,
H = p 0 + H 0 + (
m
X
i=1
H i 2 ) 1/2 ,
dont les extr´ emales d’ordre z´ ero sont des courbes int´ egrales contenues dans le niveau nul. Si (z, u) est une telle paire extr´ emale associ´ ee au temps minimal t f
(on note z = (x, p)), le principe du maximum dit que l’application entr´ ee-sortie d´ efinie sur un voisinage de u dans L ∞ ([0, t f ], S m−1 ) par
E x 0 ,t f : u 7→ x(t f , x 0 , u) est lisse et admet u comme point critique.
Supposant la distribution D = Vect{F 1 , . . . , F m } involutive, on remarque que les H i sont de classe C 1 le long d’une extr´ emale avec
H ˙ i = {H 0 , H i } sur Σ.
Un point z 0 ∈ Σ est donc un contact d’ordre un s’il appartient ` a la strate Σ 1 = Σ\ {{H 0 , H 1 } = · · · = {H 0 , H m } = 0} .
On prend m = 2 pour analyser le comportement des extr´ emales au voisinage d’un tel point, l’´ etude s’´ etendant directement en dimension sup´ erieure. Avec l’´ eclatement en polaires
H 1 = ρ cos ϕ, H 2 = ρ sin ϕ, on obtient le syst` eme en (ρ, ϕ)
˙
ρ = cos ϕ{H 1 , H 0 } + sin ϕ{H 2 , H 0 },
˙
ϕ = 1/ρ (− sin ϕ{H 1 , H 0 } + cos ϕ{H 2 , H 0 }) .
Le syst` eme s’int` egre dans le nouveau temps dτ = dt/ρ, et les extr´ emales qui
traversent Σ sont obtenues en r´ esolvant ˙ ϕ = 0.
Proposition 7. Il existe des extr´ emales obtenues par concat´ enation de deux extr´ emales d’ordre z´ ero. Au point de contact sur la surface de commutation, le contrˆ ole tourne instantan´ ement d’un angle π.
Au voisinage d’un tel point, appel´ e Π-singularit´ e, on peut utiliser un mod` ele nilpotent pour estimer la complexit´ e de l’exponentielle. On est en dimension quatre, et un mod` ele avec des crochets de longueur sup´ erieure ` a trois tous nuls est
˙
x 1 = 1 + x 3 , x ˙ 2 = x 4 ,
˙
x 3 = u 1 , x ˙ 4 = u 2 .
On v´ erifie que l’ensemble Λ des valeurs initiales de l’´ etat adjoint qui donnent lieu ` a des commutations est stratifi´ e selon
Λ = Λ 1 ∪ (Λ 1 2 ∪ Λ 2 2 )
o` u Λ 1 = {p 1 6= 0, p 2 6= 0, p 1 p 4 − p 2 p 3 = 0} est la quadrique (codimension un) depuis laquelle les deux composantes de la fonction de commutation s’annulent simultan´ ement, et Λ 1 2 = {p 1 = p 3 = 0, p 2 6= 0}, Λ 2 2 = {p 2 = p 4 = 0, p 1 6= 0}, qui sont des r´ eunions disjointes de demi-plans (codimension deux) depuis lesquels l’une des composantes est identiquement nulle et l’autre avec un seul z´ ero. Sur Λ 1 , int´ egrer le mod` ele nilpotent revient ` a int´ egrer
ξ ˙ = t − δ
√ t 2 + δ 2
o` u δ = (p 4 /p 2 − p 3 /p 1 )/2 est la demi-distance entre les deux pˆ oles, et la singu- larit´ e de l’exponentielle en δ = 0 est du type
ξ t (δ) = p
t 2 + δ 2 − |δ|(arcsh t
δ + 1) + cte,
i.e. du type δ log |δ|. On a continuit´ e mais pas diff´ erentiabilit´ e. On v´ erifie de mˆ eme sur Λ 1 2 (et sym´ etriquement sur Λ 2 2 ) que l’int´ egration porte sur
ξ ˙ = t − σ
|t − σ|
o` u σ = p 3 /p 1 est l’unique racine de la premi` ere composante de la fonction de commutation, et on a le mˆ eme type de r´ egularit´ e. Les singularit´ es rencontr´ ees ne posent pas de probl` eme ` a un int´ egrateur diff´ erentiel classique, pas plus qu’` a une m´ ethode de Newton, les points critiques du flot (et donc de la fonction de tir, cf. 1.3) ´ etant localis´ ees sur des sous-vari´ et´ es de codimension non nulle.
L’application au transfert est imm´ ediate, en coplanaire (deux entr´ ees) ou
non-coplanaire (trois entr´ ees), puisque dans les deux cas la distribution D est
involutive et que l’analyse du 1.1 implique que Σ = Σ 1 . Les contacts sont
d’ordre au plus un, et on ne peut avoir de trajectoire singuli` ere (contact d’ordre
infini). Les seules commutations possibles sont des Π-singularit´ es, en nombre
fini sur tout compact. On peut ´ egalement obtenir une majoration globale sur le
nombre de commutations cons´ ecutives aux p´ ericentres ou apocentres [2].
1.3 Points conjugu´ es, cas r´ egulier
L’objectif ´ etant d’analyser l’optimalit´ e des extr´ emales d’ordre z´ ero d´ efinies au 1.3, on suppose dans la suite que le domaine de contrˆ ole U du probl` eme temps minimal du syst` eme
˙
x = f (x, u), x ∈ X, u ∈ U,
est une vari´ et´ e sans bord, si bien que la condition n´ ecessaire locale de maximi- sation du hamiltonien s’´ ecrit
∂H
∂u = 0
dans une carte. Cette maximisation r´ ev` ele en g´ en´ eral la comp´ etition entre plusieurs hamiltoniens d´ ecrite dans [41]. L’analyse micro-locale qui en r´ esulte peut ˆ etre effectu´ ee comme suit sous l’hypoth` ese de r´ egularit´ e de la paire extr´ e- male de r´ ef´ erence (condition forte de Legendre):
(H1) Le hessien ∂ 2 H/∂u 2 est d´ efini n´ egatif le long de l’extr´ emale de r´ ef´ erence.
Alors, on tire au voisinage de cette extr´ emale le maximiseur global du hamil- tonien comme une fonction ` a param` etres de x et p, u(x, p), ce qui permet comme au 1.2 (la condition revient dans le cas du transfert ` a supposer l’extr´ emale d’ordre z´ ero) de d´ efinir le vrai hamiltonien (toujours param´ etr´ e par p 0 ) selon
H (x, p) = H (x, p, u(x, p)).
La condition de Legendre est une condition classique d’optimalit´ e L ∞ -locale [22, 63]. La notion de temps conjugu´ e, qui ´ etend au contrˆ ole optimal le th´ eor` eme de Jacobi du riemannien [37] permet de pr´ eciser jusqu’o` u cette optimalit´ e est pr´ eserv´ ee.
On d´ efinit l’application exponentielle dans le cas normal (plus g´ en´ eralement, voir [6]).
(H2) L’extr´ emale de r´ ef´ erence est normale.
On pose p 0 = −1, et on d´ efinit exp x 0 ,t : Λ 0 → X par exp x
0 ,t (p 0 ) = x(t, x 0 , p 0 )
pour (t, p 0 ) dans un voisinage de (t f , p(0)), avec Λ 0 ´ egal ` a (un ouvert de) T x ∗ 0 X ∩ {H = 0} (et on suppose que 0 est une valeur r´ eguli` ere de H (x 0 , ·)).
D´ efinition 1. L’instant t c est dit conjugu´ e (` a t = 0) le long de l’extr´ emale de r´ ef´ erence si exp x 0 ,t c n’est pas une immersion en p(0). La valeur critique correspondante, x(t c ), est appel´ ee point conjugu´ e (` a x 0 ). Quand il existe, le premier temps (resp. point) conjugu´ e le long de l’extr´ emale est not´ e t 1c (resp.
x 1c ).
L’existence d’un tel instant traduit l’apparition le long de l’extr´ emale de
r´ ef´ erence d’un noyau non-trivial de la d´ eriv´ ee seconde intrins` eque de l’appli-
cation entr´ ee-sortie pour ce temps et ´ evalu´ ee en le contrˆ ole de r´ ef´ erence. Une
condition suffisante pour garantir que les temps conjugu´ es sont isol´ es le long de
l’extr´ emale est que le contrˆ ole soit une singularit´ e de corang un de l’application
entr´ ee-sortie sur tout intervalle inclus dans [0, t f ].
(H3) Quels que soient 0 ≤ t 1 < t 2 ≤ t f , codim Im dE x(t 1 ),t 2 −t 1 (u) = 1.
Th´ eor` eme 1. [63] Sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes, le contrˆ ole de r´ ef´ erence est L ∞ -localement optimal jusqu’au premier temps conjugu´ e, plus L ∞ -localement optimal apr` es.
L’analyse faite le long de l’extr´ emale de r´ ef´ erence s’´ etend ` a toutes les ex- tr´ emales g´ en´ er´ ees par les p 0 dans Λ 0 . On d´ efinit en particulier le lieu conjugu´ e C(x 0 ) comme l’ensemble des premiers points conjugu´ es. Il s’agit d’apr` es ce qui pr´ ec` ede du lieu des points o` u les extr´ emales perdent leur optimalit´ e L ∞ -locale.
On d´ efinit ´ egalement le lieu de coupure, Cut(x 0 ), comme le lieu des points apr` es lesquels une extr´ emale perd son optimalit´ e globale.
Dans le cas sous-riemmanien avec d´ erive examin´ e au 1.2, H = p 0 + H r o` u H r = H 0 + (
m
X
i=1
H i 2 ) 1/2
est le hamiltonien r´ eduit. Quitte ` a remplacer T ∗ X par une composante connexe de T ∗ X \Σ, on peut supposer la condition forte de Legendre remplie et H r lisse sur T ∗ X\X. Dans le cas normal, on est sur le niveau {H r = 1}, et H r est homog` ene sur les fibres de T ∗ X \X . Alors, la projection σ : T ∗ X\X → S(T ∗ X ) sur le cotangent sph´ erique (fibr´ e des ´ el´ ements de contact orient´ es) induit un diff´ eomorphisme local qui transf` ere sur {H r = 1} la structure de contact de S(T ∗ X ). En particulier, quitte ` a restreindre Λ 0 , on a σ |Λ 0 diff´ eomorphisme sur un ouvert de la fibre S(T x ∗ 0 X ), et Λ 0 est une sous-vari´ et´ e legendrienne. On d´ esigne par − →
H le gradient symplectique du hamiltonien.
Proposition 8. [25] Soit Λ t = exp t − →
H (Λ 0 ) l’image de Λ 0 par le groupe ` a un param` etre g´ en´ er´ e par − →
H . Alors, Λ t est une sous-vari´ et´ e legendrienne du niveau {H = 0}.
Le front d’onde W (x 0 , t) est la projection Π(Λ t ) sur X , Π : T ∗ X → X ´ etant la projection canonique sur la base. Par d´ efinition de l’exponentielle, les points conjugu´ es sont les valeurs critiques des restrictions de la projection aux Λ t , et on dispose de la classification des singularit´ es g´ en´ eriques dans ce cas (singularit´ es legendriennes, cf. [24]).
On peut renforcer les conclusions du th´ eor` eme d’optimalit´ e pr´ ec´ edent ` a l’aide de la notion de champ central (field of extremals, cf. [22]). En effet, sous les hypoth` eses de Legendre et de normalit´ e, on sait (en supposant qu’on n’a pas un point d’´ equilibre ` a l’origine, f (x 0 , u(x 0 , p(0))) 6= 0) que l’extr´ emale de r´ ef´ erence est C 0 -localement optimale en temps petit [52]. Comme pr´ ec´ edemment, la notion de temps de conjugu´ e permet de pr´ eciser jusqu’o` u cette optimalit´ e est pr´ eserv´ ee. On suppose dans ce qui suit la trajectoire de r´ ef´ erence injective.
Proposition 9. Soit L 0 la fibre T x ∗
0 X, et soit L t = exp t − →
H (L 0 ) son image par le groupe ` a un param` etre g´ en´ er´ e par − →
H . Alors, L t est une sous-vari´ et´ e lagrangienne de T ∗ X .
La restriction de Π ` a L t est de rang au plus n − 1. On pose
L = (∪ t≥0 L t ) ∩ {H = 0}.
Proposition 10. La sous-vari´ et´ e L est lagrangienne et, en l’absence de point conjugu´ e le long de l’extr´ emale de r´ ef´ erence, la projection Π restreinte ` a L est r´ eguli` ere le long de l’extr´ emale. La projection de L sur X s’appelle dans ce cas un champ central.
La projection poss` ede en g´ en´ eral des singularit´ es sur L (singularit´ es lagrangi- ennes, cf. [24]) et l’ensemble des valeurs critiques d´ efinit la caustique, qui con- tient le lieu conjugu´ e. Dans la configuration champ central, il existe une fonction g´ en´ eratrice g telle que, localement, L soit le graphe {p = dg(x)}.
Th´ eor` eme 2. En l’absence de point conjugu´ e le long de l’extr´ emale de r´ ef´ e- rence, il existe un voisinage ouvert V de la trajectoire (extr´ emit´ e initiale exclue) et deux applications lisses, g : V → R et u ˆ : V → U , telles que pour tout (x, u) dans V × U ,
0 = H (x, dg(x), u(x)) ˆ ≥ H(x, dg(x), u), et la trajectoire de r´ ef´ erence est C 0 -localement optimale.
L’analyse ci-avant montre que la fonction de tir S : (t, p 0 ) 7→ exp x 0 ,t (p 0 ) − x f
est d´ efinie, lisse et de rang plein sur un voisinage de (t f , p(0)), la dynamique du syst` eme ´ etant transverse aux sous-vari´ et´ es L t .
Le calcul pratique de points conjugu´ es utilise la description des espaces tan- gents aux L t ` a l’aide des champs de Jacobi.
D´ efinition 2. On appelle champ de Jacobi une solution non-triviale δz = (δx, δp) de l’´ equation aux variations le long de l’extr´ emale de r´ ef´ erence,
δ z ˙ = d − →
H (z(t))δz.
Le champ est dit vertical en t si δx(t) est nul.
Une cons´ equence de la d´ efinition est que les champs de Jacobi verticaux ` a l’origine engendrent ` a l’instant t l’espace tangent ` a L t en z(t). On en d´ eduit les deux premiers tests ´ equivalents.
Test 1. Soient δz 1 , . . . , δz n des champs de Jacobi qui forment une base de T z(0) L 0 en t = 0, t c est un instant conjugu´ e si et seulement si
rang{δx 1 (t c ), . . . , δx n (t c )} < n − 1.
Test 2. Soient δz 1 , . . . , δz n−1 des champs de Jacobi qui forment une base de T z(0) Λ 0 en t = 0, t c est un instant conjugu´ e si et seulement si
rang{δx 1 (t c ), . . . , δx n−1 (t c )} < n − 1.
La transversalit´ e de la dynamique permet d’´ ecrire un troisi` eme test.
Test 3. Soient δz 1 , . . . , δz n−1 des champs de Jacobi qui forment une base de T z(0) Λ 0 en t = 0, t c est un instant conjugu´ e si et seulement si
δx 1 (t c ) ∧ · · · ∧ δx n−1 (t c ) ∧ x(t ˙ c ) = 0.
Les tests 1 (ou 2) et 3 sont compl´ ementaires dans la mesure o` u le rang peut ˆ etre ´ evalu´ e dans les deux premiers cas en estimant ` a chaque instant la plus petite valeur singuli` ere σ n−1 (t) de la famille des champs de Jacobi, et o` u on est ramen´ e ` a une ´ equation scalaire dans le troisi` eme. Calculer une valeur singuli` ere est meilleur en temps petit puisqu’on d´ ecouple ce faisant σ n−1 des autres valeurs singuli` eres, toutes nulles ` a l’origine, et responsable donc de la tr` es faible magnitude du d´ eterminant du test 3 au voisinage de t = 0, d´ eterminant dont l’ordre de grandeur est d´ etermin´ e par le produit de ces valeurs singuli` eres.
R´ eciproquement, on ne peut d´ etecter de z´ ero par changement de signe sur σ n−1 qui est toujours positive, alors que c’est g´ en´ eriquement possible sur le d´ eterminant. Les deux tests sont r´ ealis´ es par le code de calcul d´ ecrit dans [6], les champs de Jacobi ´ etant eux ´ evalu´ es par int´ egration du syst` eme extr´ emal augment´ e de son lin´ earis´ e.
L’application au transfert orbital est illustr´ ee par les figures 1.1 et 1.2. Le mod` ele utilis´ e est non-coplanaire ` a masse variable, voir [4, 6]. Le calcul de point conjugu´ e effectu´ e assure l’optimalit´ e locale des extr´ emales d´ etermin´ ees ant´ erieurement [42, 53, 21]. Il montre aussi l’existence de points conjugu´ es quand la longitude (cumul´ ee, cf. 1.1) finale est fix´ ee (il faut sinon introduire la notion de point focal [28]), ce qui confirme l’importance du test et conduit ` a raffiner l’´ etude ` a l’aide de l’approximation riemannienne du chapitre 2.
1.4 Extr´ emales en mono-entr´ ee affine
Etant donn´ ´ e le syst` eme mono-entr´ ee affine
˙
x = F 0 (x) + uF 1 (x), x ∈ X, |u| ≤ 1,
on proc` ede comme au 1.2 ` a la classification des extr´ emales [51] selon l’ordre de leur contact avec la surface de commutation Σ = {H 1 = 0} (qu’on suppose ˆ etre une sous-vari´ et´ e de codimension un). La fonction de commutation Φ le long de l’extr´ emale de r´ ef´ erence est not´ ee Φ + ou Φ − selon que le contrˆ ole vaut plus ou moins un. On diff´ erentie deux fois,
Φ ˙ + = ˙ Φ − = {H 0 , H 1 },
Φ ¨ ± = {H 0 , {H 0 , H 1 }} ± {H 1 , {H 0 , H 1 }},
et on traite imm´ ediatement le cas o` u z 0 est un point de contact d’ordre un : si z 0 appartient ` a Σ 1 = Σ\ {{H 0 , H 1 } = 0}, l’extr´ emale de r´ ef´ erence est transverse
`
a Σ en z 0 et poss` ede localement une seule commutation.
Soit maintenant z 0 ∈ Σ\Σ 1 = {H 1 = {H 0 , H 1 } = 0} (qu’on suppose ˆ etre de codimension deux) un point de contact d’ordre deux (ou fold), c’est-` a-dire tel que les deux d´ eriv´ ees secondes (a priori distinctes) de Φ ` a gauche et ` a droite de l’instant de commutation soient non nulles : ¨ Φ ± 6= 0. Parmi les trois possibilit´ es qui se pr´ esentent alors, la premi` ere est le fold parabolique o` u ¨ Φ + et ¨ Φ − ont mˆ eme signe. L’extr´ emale de r´ ef´ erence et toutes les extr´ emales voisines sont localement bang-bang avec au plus deux commutations. Dans le second cas, dit hyperbolique, on a ¨ Φ + > 0 et ¨ Φ − < 0. N´ ecessairement, {H 1 , {H 0 , H 1 }}(z 0 ) > 0, et par z 0 passe une singuli` ere d’ordre minimal (anormale ou hyperbolique, cf.
ci-apr` es). Les extr´ emales dans un voisinage sont des concat´ enations d’arcs de
la forme γ ± γ s γ ± . Enfin, dans le dernier cas ou cas elliptique, on a ¨ Φ + < 0 et
!40
!20 0
20 40
60 80
!40
!20 0 20 40
!10 0 10
q
1q
2q
3!50 0 50
!40
!20 0 20 40
q
1q
2!50 0 50
!20
!10 0 10 20
q
2q
30 100 200 $00 %00 &00
!1 0 1x 10!%
t
arcs. det(! x)
0 100 200 $00 %00 &00
0 1 2
$
%
&
6x 10!$
t
"n!1
Figure 1.1: Un transfert ` a pouss´ ee maximale permise de 6 Newtons. Le temps minimum est d’environ 141.60 heures (soit ` a peu pr` es 6 jours) pour 7 r´ evolutions autour de la Terre. La trajectoire optimale (avec des projections dans le plan
´
equatorial et dans un plan perpendiculaire pour illustrer comment l’inclinaison est corrig´ ee) est prolong´ ee jusqu’` a quatre fois le temps minimum. Sont ensuite repr´ esent´ es le d´ eterminant et la plus petite valeur singuli` ere des champs de Jacobi le long de l’extr´ emale. Le premier temps conjugu´ e est d´ etect´ e vers 3.7 fois le temps minimum : l’optimalit´ e (locale) de la trajectoire est donc perdue apr` es environ 522.07 heures.
Φ ¨ − > 0 en z 0 . Comme dans le cas hyperbolique, une singuli` ere d’ordre minimal
passe par z 0 , mais la connection avec un arc ±1 est impossible. Les extr´ emales
au voisinage sont bang-bang mais on ne peut pas donner de borne sur le nombre
de commutations.
!50 0
50
!40
!20 0 20 40
!40
!20 0 20
q
1q
2q
3!50 0 50
!40
!20 0 20 40
q
1q
2!50 0 50
!50 0 50
q
2q
30 200 400 600 800 1000
!4
!2 0 2 4
t
arcsh det(! x)
0 200 400 600 800 1000
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
t
"n!1
Figure 1.2: Le mˆ eme transfert que Fig. 1.1 prolong´ e jusqu’` a huit fois le temps minimum : six points conjugu´ es sont d´ etect´ es le long de l’extr´ emale.
On d´ ecrit pour finir les extr´ emales singuli` eres, associ´ ees ` a un contact d’ordre infini: H 1 identiquement nul le long de l’extr´ emale. En diff´ erentiant comme auparavant deux fois, on obtient H 1 = {H 0 , H 1 } = 0 et
{H 0 , {H 0 , H 1 }} + u{H 1 , {H 0 , H 1 }} = 0.
Si {H 1 , {H 0 , H 1 }} 6= 0, la singuli` ere est dite d’ordre minimal [28] et le feedback dynamique
u = − {H 0 , {H 0 , H 1 }}
{H 1 , {H 0 , H 1 }}
permet, comme dans le cas r´ egulier du 1.3, de d´ efinir le vrai hamiltonien par
H (x, p) = H (x, p, u(x, p)). Les extr´ emales singuli` eres sont ainsi g´ en´ eriquement
les courbes int´ egrales de ce hamiltonien contenues dans Σ\Σ 1 . On distingue alors trois cas, selon qu’une telle extr´ emale est anormale (H 0 = 0), ou normale et telle que {H 0 , {H 0 , H 1 }} > 0 (extr´ emale hyperbolique), ou enfin normale et telle que {H 0 , {H 0 , H 1 }} < 0 (extr´ emale elliptique). Comme on le rappelle au 1.5, cette sous-classification des singuli` eres est en lien direct avec leur optimalit´ e puisque la condition d’ordre minimal s’interpr` ete, au signe pr` es, comme une condition forte de Legendre.
L’application au transfert orbital est une cons´ equence de l’analyse de l’al- g` ebre de Lie faite au 1.1 et se trouve r´ esum´ ee ci-apr` es dans le cas des deux directions de pouss´ ees pour lesquelles on conserve la controlabilit´ e en coplanaire (et en non-coplanaire en rajoutant une pouss´ ee hors plan), ` a savoir la pouss´ ee tangentielle et la pouss´ ee orthoradiale.
Proposition 11. Soit x ˙ = F 0 (x) + uF t (x), |u| ≤ 1, le syst` eme contrˆ ol´ e par une pouss´ ee tangentielle. Toutes les singuli` eres sont d’ordre minimal elliptiques, et les contacts d’ordre deux sont paraboliques ou elliptiques, pas hyperboliques. De plus, il ne peut y avoir de point de Fuller.
Les singuli` eres d’ordre minimal elliptiques ne pouvant ˆ etre temps minimales (cf. 1.5), on en d´ eduit que les trajectoires optimales en mono-entr´ ee tangentiel sont n´ ecessairement bang-bang. C’est le point de d´ epart du travail [38].
Proposition 12. Soit x ˙ = F 0 (x) + uF or (x), |u| ≤ 1, le syst` eme contrˆ ol´ e par une pouss´ ee orthoradiale. Alors, toutes les singuli` eres anormales sont d’ordre minimal en dehors des p´ ericentres et apocentres, et le contrˆ ole correspondant v´ erifie
D 0 + uD 1 = 0.
1.5 Points conjugu´ es, cas singulier mono-entr´ ee affine
On ´ etudie l’optimalit´ e des singuli` eres du syst` eme mono-entr´ ee affine pr´ ec´ e- dent, ce qui revient ` a l’´ etudier sans contrainte sur le contrˆ ole (le probl` eme de l’admissibilit´ e du contrˆ ole singulier se posant ensuite). Soit donc ˙ x = F 0 (x) + uF 1 (x), on rappelle les r´ esultats de [31]. On fait les deux hypoth` eses suivantes le long de la trajectoire de r´ ef´ erence (que l’on suppose lisse et injective) : (H1)’ ad 2 F 1 · F 0 n’est pas dans Vect{ad k F 0 · F 1 , k = 0, . . . , n − 2}, (H3)’ Vect{ad k F 0 · F 1 , k = 0, . . . , n − 2} est de codimension un.
Sous (H3)’, qui est comme (H3) au 1.3 une condition de corang un du contrˆ ole de r´ ef´ erence, (H1)’ assure que l’extr´ emale singuli` ere est d’ordre minimal. Avec l’hypoth` ese suppl´ ementaire que, le long de la trajectoire extr´ emale,
(H4)’ F 0 n’est pas dans Vect{ad k F 0 · F 1 , k = 0, . . . , max{0, n − 3}}, on peut identifier F 1 ` a ∂/∂x n et mettre le syst` eme sous la forme normale
˙
y = f (y, x n ),
˙
x n = g(y, x n ) + u.
!40 !20 0 20 40 60 80
!20
!10 0 10 20 30 40 50 60 70
0 0.05 0.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5
t arcsh3 det(! x)
