Universit´e Paris 7 Denis Diderot L1 Math 2009-2010, INFO2(Section E)
Contrˆ ole de connaissance du 6 novembre : dur´ ee 2h
Les exercices sont ind´ependents. Les documents papiers sont autoris´es. Les appareils
´
el´ectrique sauf les calculatrices sont interdits.
Exercice 1 Calculer le d´eterminant
21 22 23 24 25 26 27 28 29 .
Exercice 2 R´esoudre le syst`eme d’´equations lin´eaires :
⎧
⎨
⎩
𝑥+𝑦−𝑧= 0 𝑥−𝑦+𝑧= 2
−𝑥+𝑦+𝑧= 4
Exercice 3 1) Soit 𝐴 = (𝑎1, 𝑏1), 𝐵 = (𝑎2, 𝑏2) et 𝐶 = (𝑎3, 𝑏3) trois points dans ℝ2. Montrer qu’il sont align´es si et seulement si
1 1 1
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
= 0.
2) Soient 𝜆, 𝜇 et 𝜈 trois nombres r´eels. Exprimer le d´eterminant
1 1 1
𝜆 𝜇 𝜈 𝜆2 𝜇2 𝜈2
en fonction de𝜆,𝜇et 𝜈.
3) Montrer que, si𝜆,𝜇et 𝜈 sont trois nombres r´eels distincts, alors (𝜆, 𝜆2), (𝜇, 𝜇2) et (𝜈, 𝜈2) ne sont pas align´es.
Exercice 4 Soit𝐴𝐵𝐶 un triangle dansℝ2. 1) Montrer que⟨𝐴,−−→
𝐵𝐶⟩+⟨𝐵,−→
𝐶𝐴⟩+⟨𝐶,−−→ 𝐴𝐵⟩= 0.
2) En d´eduire que les trois hauteurs de𝐴𝐵𝐶 sont concourrantes.
3) Soit𝐷 la projection de𝐴sur la droite (𝐵𝐶). Montrer que⟨−−→ 𝐴𝐵,−−→
𝐵𝐶⟩=⟨−−→
𝐷𝐵,−−→ 𝐵𝐶⟩.
4) En d´eduire que
∣𝐴𝐵∣2∣𝐵𝐶∣2− ∣⟨−−→ 𝐴𝐵,−−→
𝐵𝐶⟩∣2= 4×aire(𝐴𝐵𝐶)2. 5) En d´eduire l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :
∀𝑢, 𝑣∈ℝ2, ∣⟨𝑢, 𝑣⟩∣⩽∣𝑢∣ ⋅ ∣𝑣∣.
TSVP
Exercice 5 Soient𝑁 ⩾𝑘⩾1 des entiers.
1) Montrer que (𝑁
𝑘 )
=𝑁(𝑁−1)⋅ ⋅ ⋅(𝑁−𝑘+ 1)
𝑘! .
2) En d´eduire que
(𝑁−𝑘+ 1)𝑘
𝑘! ⩽
(𝑁 𝑘 )
⩽(𝑁−(𝑘−1)/2)𝑘
𝑘! .
Exercice 6 Soit (𝑃) le plan dansℝ3d´efini par l’´equation𝑥+𝑦+𝑧= 1.
1) D´eterminer la projection de l’origne𝑂= (0,0,0) sur le plan (𝑃).
2) D´eterminer la distance de l’origne au plan (𝑃).
3) D´etemier les ´equations qui repr´esentent la droite passant par𝑂 et qui est orthogo- nale `a (𝑃).
Exercice 7 Soient (𝐷1) et (𝐷2) deux droites dansℝ3 d´efinies par les ´equations {𝑥+𝑦−3𝑧= 0
𝑥−𝑦−𝑧+ 2 = 0 et
{𝑥−𝑦+𝑧= 0 2𝑥+𝑦−3𝑧−1 = 0 respectivement.
1) Montrer que les droites (𝐷1) et (𝐷2) ont un point commun que l’on pr´ecisera.
2) Montrer que les droites (𝐷1) et (𝐷2) sont contenues dans un mˆeme plan.
3) D´eterminer l’´equation du plan contenant (𝐷1) et (𝐷2).
Exercice 8 Soit (𝐷) la droite dansℝ3d´efinie par les ´equations {𝑥−𝑦−𝑧= 0
2𝑥+𝑦+𝑧+ 1 = 0
1) Montrer que la droite (𝐷) est contenu dans le plan d’´equation 3𝑥+ 1 = 0.
2) Montrer que tout plan dansℝ3 qui contient (𝐷) peut ˆetre d´ecrit par une ´equation de la forme (𝜆+ 3)𝑥−𝜇(𝑦+𝑧) =𝜆, o`u𝜆et𝜇sont des nombres r´eels.
