ELECTROMAGNETIQUES DANS LE VIDE

ATS 2021-22 TD EM10

EM10 - ONDES

ELECTROMAGNETIQUES DANS LE VIDE

Formulaire :

rot(~ rot ~~ A) =grad(div ~~ A)−∆A~

1 Questions de cours*

1. (a) Rappeler les équations de Maxwell et simpli- fiez les dans le cas du vide.

(b) Montrer que B~ vérifie une équation différen- tielle de d’Alembert.

(c) On considère la propagation d’un champ élec- trique dans le vide défini parE~ =E_ocos(ωt− ky)~u_x

Préciser la direction de la polarisation de cette onde électrique ainsi que sa direction de pro- pagation.

(d) A l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday, dé- terminer l’expression du champ magnétique associé à cette onde. On suppose qu’il n’existe aucune source de champ magnétostatique. On n’utilisera pas la notation complexe dans cette question.

(e) Retrouver la réponse à la question précédente à l’aide d’un résultat du cours concernant ce type d’onde.

(f) Dessiner l’allure de l’onde électromagnétique dans la base (Oxyz).

2. "La Terre reçoit du soleil par rayonnement une puissance d’environ 1kW/m²".

(a) A quelle grandeur électromagnétique corres- pond cette donnée ?

(b) ** Le rayon de l’orbite terrestre est R = 150Gm. En supposant que l’espace n’absorbe rien, déduisez-en la puissance totale rayonnée par le soleil dans l’univers.

(c) ** Comparer la puissance surfacique en pro- venance du soleil avec celle du laser suivant, disponible en vente libre :Pointeur laser fais- ceau vert 300 mW, longueur d’onde 532 nm, portée 3000 mètre dans l’obscurité, diamètre du faisceau cylindrique1,1 mm.

Réponse : 2b)P = 2.8 10²⁶ W, 2c)π= 3.1 10⁵ W/m²

2 Lien entre champs et charges*

On considère une situation différente du vide dans laquelle le champ électrique s’écrit :

E(x, t) =~ E_ocos(ωt−kx). ~U_x

Il n’y a pas d’aimant ni de courant permanent dans l’espace.

On travaillera uniquement en notation réelle.

1. En déduire l’expression du champ magnétique.

2. Exprimer séparément les densités de chargesρet de courants~j.

3. Vérifier que l’équation de conservation de la charge est bien respectée.

3 Etude d’une onde**

On étudie une onde électromagnétique dans le vide, dont le champ électrique est :

E~ =E_o.(U~_x−U~_y).e^j(kz−ωt) avec λ= 6.10⁻¹ µm 1. Rappeler l’équation de propagation vérifiée parE~

dans le vide. Vérifier que l’onde proposée la vérifie bien, sous une condition à trouver.

2. Progressive (si oui donner la direction et le sens de propagation) ?

3. Donner la direction de polarisation de l’onde.

4. Calculer la fréquence de l’onde, le nombre d’onde.

Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette onde ?

5. Etablir le champ magnétique complexe de cette onde. Vérifier que le champ électromagnétique possède la structure vectorielle attendue (faire un schéma).

6. Calculer la densité moyenne d’énergie électroma- gnétique associée à cette onde, et la moyenne tem- porelle de son vecteur de Poynting.

Réponse : 5) B~ = ^E_c^o.(U~x+U~y).e^j(kz−ωt), 6) < ~π >=

E²_o~uz cµ_o

4 Puissance d’un laser**

Un laser de puissance moyenne totale P = 10 W émet un faisceau cylindrique d’axeOz et de diamètreD= 3,0 mm dans la longueur d’onde λ = 632 nm. On donne µ_o= 4π.10⁻⁷. L’air est assimilé au vide.

1. On suppose que les ondes lumineuses associées à ce faisceau sont planes progressives sinusoïdales à polarisation rectiligne selon~ux. Donner l’expres- sion générale du champ électrique en complexe en introduisant une amplitudeEm.

2. En déduire celle du champ magnétique puis de la moyenne du vecteur densité surfacique de puis- sance en fonction de l’amplitude du champ élec- trique (entre autre).

3. Calculer l’amplitude du champ électrique en ex- ploitantP.

4. Quel est le nombre de photons n* émis par se- conde par ce laser ? On donne l’énergie d’un pho- ton d’une onde de fréquence ν : E = hν avec h= 6.62 10⁻³⁴ U SI (Constante de Planck).

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Réponse : 3)Em=q

8P

πD²c_o = 3.3 10⁴ V.m⁻¹; 4)n^∗= 3.2 10¹⁹s⁻¹

5 Une solution des équations de Maxwell**

On suppose que le champ électromagnétique régnant dans une partie de l’espace vide de charge et de courant est donné par les expressions suivantes :

E(M, t) =~ f(z).e^−αtU~x

B(M, t) =~ g(z).e^−αtU~y

1. Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Flux sont elles vérifiées ?

2. Montrer que l’équation de Maxwell-Faraday im- pose une expression deg(z) en fonction def⁰(z).

3. Montrer que l’équation de Maxwell-Ampère im- pose une expression def(z) en fonction deg⁰(z).

4. En déduire l’équation différentielle vérifiée par f(z), puis la résoudre. On supposera que cette fonction est paire et queE(O,~ 0) =E_oU~_x. Réponse : 2) αg = f⁰; 3) oµoαf = g⁰; 4) f(z) = Eo.cosh(α√

oµoz)

6 Détection d’ondes électromagné- tiques par induction**

Un émetteur ponctuel de puissance moyenne Pm = 3 kW émet des OEM monochromatiques de fréquencef = 1 M Hz de manière isotrope dans tout l’espace. A une dis- tancer= 50kmde l’émetteur (à cette distance on admettra que l’onde a localement la structure d’une onde plane pro- gressive à polarisation rectiligne), on place un cadre de ré- ception plan carré de côtéa= 20cmsur lequel on a enroulé N = 100 spires de fil conducteur.

SoitU(t) la fem qui apparaît aux bornes AB du cadre. Ces deux bornes sont trés proches l’une de l’autre.

1. Expliquer pourquoi une fem apparaît. Représen- ter l’émetteur ainsi que les champs électromagné- tiques de l’onde et son vecteur d’onde loin de l’émetteur (citer la propriété utilisée). Comment orienter le cadre pour que la fem soit maximum ?

2. Déterminer loin de l’émetteur, la relation entre la puissance Pm et l’amplitude Bo(r) du champ magnétique porté par l’onde, à une distancerde la source.

3. Déterminer puis calculer la valeur efficace de la fem.µo= 4π10⁻⁷.

Réponse : 2) Pm = ^2πr_µ^2B2oc

o ; 3) Uef f =

√2πN a²f qµoP

2πr²c = 0.5mV

7 Etude énergétique d’un câble en régime statique**

Soit un cylindre de longueur L, d’axe Oz et de rayon a, de conductivité γ, parcouru par des courants, uniformes et indépendants du temps, de densité volumique~j = j ~Uz. On noteI l’intensité traversant le câble.

1. Faire un schéma et dessiner la base appropriée en un point de la périphérie du câble.

2. Exprimerj en fonction deI.

3. En déduire E~ en fonction deI en tout point du câble.

4. On néglige les effets de bords, c’est-à-dire que les champs ont même géométrie que si le cylindre était infiniment long. Déterminer, en un point de la surface du cylindre, l’expression du champ ma- gnétique.

5. En déduire le vecteur de Poynting en un point de la surface du cylindre. Représenter le sur le schéma.

6. Exprimer la puissance électromagnétique reçue par le conducteur à travers sa surface latérale S.

Faire apparaître la résistance R du cylindre en interprétant la formule précédente.

7. Que valent les champ électrique et magnétique en r=a⁺, à l’extérieur du cylindre ?

Réponse : 5)~π= _2π^−I2²a^~u3rγ; 6)P= _πa^I22^Lγ

8 Par où l’énergie rentre-t-elle dans une bobine en charge ?**

On considère un solénoïde « long », d’axe U~z com- portant n spires par mètres, parcouru par un courant I(t) croissant (on établit un courant dans la bobine). NB : pour queIsoit identique en tout point de ce long solénoïde, il faut se placer dans l’ARQS, ce qui modifie l’équation de Maxwell- Ampère (Hors programme). On n’utilisera donc pas l’équa- tion de Maxwell-Ampère dans cet exercice.

On donne en cylindrique :rot ~~ A= ¹_r^∂A_∂θ^z −^∂A_∂z^θ

~ ur+

∂A_r

∂z −^∂A_∂r^z

~

uθ+¹_{r ∂r}^∂ (rAθ)−^∂A_∂θ^r

~ uz

1. L’hypothèse « long » permet de considérer le champ magnétique nul à l’extérieur de la bobine.

Rappeler l’expression deB~ à l’intérieur.

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2. L’étude des symétries et invariances permet d’éta- blir queE~ =E(r). ~uθ. Déterminer l’expression de E~ à l’intérieur en fonction deret ^dI_dt.

3. Exprimer le vecteur de Poynting en fonction der et représenter le au niveau des spires. Répondre à la question du titre en justifiant soigneusement les signes.

Réponse : 3)~π=^{−µon2rI.dI/dt}₂ ~ur

9 Bilan énergétique de la charge d’un condensateur***

On considère dans cet exercice la charge d’un conden- sateur initialement déchargé sous une tension U constante délivrée par un générateur. Le condensateur est constitué de deux plans circulaires de rayon a, distants de e et séparés par du vide. On négligera tout effet de bord. On note q(t) et−q(t) les charges portées par les armatures.

1. Dessiner la base cylindrique en M.

2. Exprimer la charge surfacique déposée sur les ar- matures. En déduire l’expression du champ élec- trique inter-armature à l’aide du théorème de Coulomb et de l’équation de Maxwell-Gauss. On montrera que :

E~ = q _oπa²~uz

3. Une des équations de Maxwell montre qu’il doit exister un champ magnétique dans le condensa- teur. Laquelle et pourquoi ?

4. Justifier queB~ =B(r, z)~u_θ (la justification de la direction sera qualitative et fondée sur l’équation de Maxwell de la question précédente).

5. On admet queB~ =^µ_2πa^oi(t)r2 ~uθ. Montrer que l’équa- tion de Maxwell-Ampère est vérifiée (utiliser un formulaire).

6. Trouver l’expression du vecteur de Poynting~Π en fonction de la variable q(t).

7. En déduire la puissance électromagnétiqueP en- trant dans le composant au cours de sa charge en fonction de la variable q(t).

8. En déduire l’énergie électromagnétique ∆Uemac- cumulée lors de la charge à l’aide de la réponse précédente, en notantQ la charge finale. Identi- fier la capacité du condensateur.

9. Retrouver ∆Uem en utilisant la densité d’énergie électromagnétiqueuem.

Réponse : 6)~π=₄^−r~ur

oπ²a⁴ dq²

dt ; 8) ∆Uem= ₂^q2e

oπa² etC=

_oπa² e

10 Onde électromagnétique dans le vide***

Une onde électromagnétique dans le vide est définie par son champ électrique en notation complexe (k >0) :







Ex= 0

E_y=E_o.cos(π^y_a).e^i(ωt−kz) Ez=µEo.sin(π^y_a).e^i(ωt−kz) Attention ces ondes ne sont pas planes.

1. A l’aide de deux équations vérifiées parE~ dans le vide, déterminer k et µ en fonction deEo, ω, a et c.

2. DéterminerB. Décrire la nature de l’onde.~ 3. Trouver la valeur moyenne temporelle du vecteur

de Poynting.

Réponses : 1)µ=iπ/ak,k= qω²

c² −^π_a²2

2) B~ = ^−ωE_kc2^ocos(π^y_a).e^(ωt−kz)e~x ; 3) < ~Π >=

−ωE_o²

2µokc²cos²(πy/a).~uz

11 Effet Meisner dans un supracon- ducteur plan = "expulsion" du champ magnétique***

Un matériau supraconducteur vérifiant l’équation de London~j =A/µ~ oλ² occupe tout le demi-espace défini par x≥0, avec B~ =−rot(~ A) et~ λ=cst. Le trièdre orthonormé (Oxyz) est choisi de telle sorte que le champ magnétique sta- tique régnant dans le vide extérieur (x <0) n’ait de compo- sante tangentielle que suivantOz (c’est à dire queB_y= 0) sur le planx= 0. La norme du champ sur la frontière estB_o. La question étant traitée à l’échelle mésoscopique, le champ est pris continu à la frontière.

Enfin tout se passe en régime stationnaire.

1. Etablir l’équation vérifiée par B~ dans le supra- conduteur :

d²B~ dx² = 1

λ². ~B

2. Résoudre soigneusement. On exploitera la rela- tion de Maxwell-Thomson pour chercher l’une des constantes d’intégration.

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3. Déduire la densité de courant volumique à l’inté- rieur du supraconducteur.

Réponse : 2)B~ =Boe^−x/λ/λ; 3)~j=_µ^Bo

oλ.e^−x/λ. ~Uy

12 Emission isotrope de charges***

Une petite bille de cuivre, confondue avec son centre O, initialement neutre, émet des électrons de façon isotrope à partir de t= 0 : le nombre d’électrons émis par unité de temps est une constanteαet on admet que les électrons ont une vitesse radiale constante~v=v_o. ~u_r.

1. Représenter la situation au niveau des charges à la date t. De quelles variables dépend le champ ρ?

2. En considérant la charge contenue, à t, entre 2 sphères de centre O de rayonretr+dr, détermi- nerρ(r, t). Bien réflechir aux dates entre lesquelles ces particules ont été émises.

3. En déduire que la densité de courant~j(r, t) vaut :

~j(r > vot, t) =~0 et ~j(r < v_ot, t) =− αe 4πr²u~_r 4. Déterminer le champ électrique, supposé de la

forme E~ = E(r, t). ~ur. Montrer ensuite que les équations de Maxwell sont compatibles avec un champ magnétique nul. On supposera que c’est le cas dans la suite.

5. En déduireΠ et~ uEM.

Réponse : 2)ρ(r < vot, t) = _4πv^−αe

or² 4)E(r < v~ ot, t) =

αe

4π_or²(t−r/vo)u~r E(r > v~ ot, t) =~0

Synthèse du chapitre

Objectifs principaux Exos

Enoncer les 4 équations de Maxwell. Savoir les écrire dans le vide

1,2,5,8 9,10,11 12 Retrouver l’équation de propagation des OEM dans le vide (rot(rot)=... fourni)

1,3 Connaître la valeur de c et son lien aveco µo 3,4,6 Savoir exprimer et calculer un laplacien vectoriel

Savoir écrire une OEMPPH à polarisation rectiligne et définir chaque terme

3,4,6

Passer de λà,f,ω, etc... 1,3,4

Connaître la structure de l’OEMPPH rectiligne et savoir passer de E à B ou inversement

3,4,6 Connaître les domaines du spectre EM et citer des applications

3,4 Exprimer un vecteur de Poynting et connaître sa si- gnification. Lien avec la puissance d’un faisceau. Cas de l’onde sphérique

1,3,4,6 7,8,9,10 12 Exprimer une densité volumique d’énergie EM. Lien avec l’énergie présente dans un volume

3,9,12

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