Montrer que Aut(G) agit transitivement sur G\ {1G}

Alg`ebre L3A - Seconde session Dur´ee: 4h -Aucun document autoris´e Exercice 1. Soit Gun groupe.

1. Montrer que l’on d´efinit une action de Aut(G) surG en posant ϕ∗g=ϕ(g) pour tout ϕ∈Aut(G) et tout g∈G.

2. Justifier que l’action de Aut(G) sur G se restreint en une action sur l’ensemble G\ {1_G}.

On suppose maintenant que G est un groupe fini non trivial. On veut d´emontrer que Aut(G) agit transitivement sur G\ {1_G} si et seulement s’il existe un nombre premier p et un entierm≥1 tels que G'(Z/pZ)^m. 3. On suppose que G'(Z/pZ)^m, o`u p est premier etm≥1. On rappelle que Aut(G) ' GL_m(Z/pZ). Montrer que Aut(G) agit transitivement sur G\ {1_G}.

On suppose maintenant que que G est un groupe fini non trivial tel que Aut(G) agit transitivement sur G\ {1_G}.

4. Montrer que tous les ´el´ements de G\ {1_G} ont mˆeme ordre.

5. En d´eduire qu’il existe un nombre premierpet un entierm≥1 tels queG soit d’ordre p^m, et que tous les ´el´ements de G\ {1_G} sont d’ordrep.

6. Justifier l’existence d’un ´el´ement de z∈Z(G)\ {1_G}.Montrer alors que G est ab´elien.

7. Montrer que l’application (m, g)∈Z/pZ×G7→g^m∈Gest bien d´efinie.

On admet que cette application induit sur Gune structure de Z/pZ-espace vectoriel.

8. En d´eduire qu’il existe m≥1 tel que G'(Z/pZ)^m.

Exercice 2. Soit p un nombre premier. On note K = Z/pZ. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle, et soitu∈ L(E).

1. Factoriser X^p−X dansK[X].

2. Montrer que uest diagonalisable si et seulement si u^p−u= 0.

3. Montrer que uest trigonalisable si et seulement si u^p−uest nilpotent.

Exercice 3. Soientp, q, r trois nombres premiers, avec p < q < r, et soit Gun groupe d’ordrepqr. Si`=p, qour, on noteN` le nombre de`-Sylow.

1. Montrer que N_p= 1 ou N_p ≥q.

2. Montrer que Nr= 1 ou Nr=pq.

3. En comptant le nombre d’´el´ements d’ordrep, q, r, montrer que Np(p−1) +Nq(q−1) +Nr(r−1)≤pqr−1.

4. En d´eduire que Gn’est pas simple.

Suite de l’´enonc´e au dos !

1

2

Exercice 4. Soit A={P ∈Q[X]|P(0)∈Z}.

1. Montrer que Aest un anneau int`egre et A^× ={±1}.

2. Montrer que si P ∈ A et P(0) = 0, alors m |P, pour tout m ∈ Z non nul.

3. Montrer que si p est un nombre premier, alors pest irr´eductible dansA.

4. D´eduire des questions pr´ec´edentes que X poss`ede une infinit´e de di- viseurs irr´eductibles deux `a deux non associ´es. L’anneau A est-il euclidien

? (justifier tr`es soigneusement!) 5. Pour n≥1, on noteI_n=X

2ⁿ

= X

2ⁿA. SoitI = [

n≥1

I_n. (a) Montrer que I est un id´eal deA.

On se propose de montrer par l’absurde queI n’est pas principal. SoitP ∈A tel que I = (P).

(b) Justifier qu’il existe n≥1 et Q∈A tels queP = X 2ⁿQ.

(c) Montrer que Qest constant non nul.

(d) Conclure en utilisant le fait que X 2ⁿ⁺¹ ∈I.