1. L’essentiel du Cours 8: Applications linéaires.
1.1. Applications linéaires
Dé…nition: Une application f :Rn!Rm est dite linéaire, si 8 ; 2R;8x; y 2Rn: f( :x+ :y) = :f(x) + :f(y) Exemples:
1) L’application f :R3 !R2 dé…nie par f(x; y; z) = (2x+ 3y z; x+z) est une application linéaire. En e¤et:
Soit ; 2Ret soit (x1; y1; z1);(x2; y2; z2)2R3, on a:
f( (x1; y1; z1) + (x2; y2; z2)) =f( x1+ x2; y1+ y2; z1+ z2)
= (2 ( x1 + x2) + 3 ( y1+ y2) ( z1+ z2);( x1+ x2) + ( z1 + z2))
= ( (2x1 + 3y1 z1) + (2x2+ 3y2 z2); (x1+z1) + (x2+z2))
= (2x1+ 3y1 z1; x1+z1) + (2x2+ 3y2 z2; x2+z2)
= f(x1; y1; z1) + f(x2; y2; z2)
Théorème:Soit f :Rn!Rm une application linéaire. Alors:
1) f(Rn) est un sous espace vectoriel de Rm noté Imf 2) f 1f0Rmg est un sous espace vectoriel de Rnnoté kerf 3) f est surjective , Imf =Rm:
4) f est injective , kerf =f0Rng
Rappel: Imf =ff(x) =x2Rng=f(Rn) etkerf =fx2Rn =f (x) = 0Rmg=f 1f0Rmg Exemples:
1) Soit l’application linéairef :R3 !R2dé…nie parf(x; y; z) = (2x+ 3y z; x+z): kerf =f(x; y; z)2R3 = (2x+ 3y z; x+z) = 0R2g:
On a 2x+ 3y z = 0
x+z = 0 ,
8<
:
y= x z= x x2R
kerf =f(x; y; z)2R3=z =y = xg, alors f n’est pas injective, car kerf 6=f0R3g Imf =ff(x; y; z)=(x; y; z)2R3g=f(2x+ 3y z; x+z)=(x; y; z)2R3g
=fx(2;1) +y(3;0) +z( 1;1) = x; y; z2Rg
AlorsImfest le sous espace vectriel deR2engendré par la partieG=f(2;1);(3;0);( 1;1)g qui n’est pas libre (sinondimR(Imf) = 3ce qui est impossible car dimR(Imf) dimRR2 = 2).
On remarque que( 1;1) = (2;1) (3;0); la partie G1 =f(2;1);(3;0)g est aussi génératrice de Imf:
Il est facile de montrer que G1 est libre, ce qui implque que G1 est une base deImf et dimR(Imf) = 2 d’où Imf =R2 et par conséquentf est surjective.
1.2. Applications linéaires et dimensions
Théorème:Soit f :Rn!Rm une application linéaire. Alors:
dimR(kerf) + dimR(Imf) = dimR(Rn) =n Exemple:
1) Soit l’application linéaireg :R3 !R4dé…nie parg(a; b; c) = (b; a b; b c; a+ 2c) kerg =f(a; b; c)2R3 = (b; a b; b c; a+ 2c) = (0;0;0;0)g;
On a 8>
><
>>
: b= 0 a b= 0 b c= 0 a+ 2c= 0
, 8>
><
>>
: b= 0 a= 0 c= 0 a= 0
Donckerg =f(0;0;0)g, alors g est injective.
On a3 = dimRR3 = dimR(Img) + dimR(kerg) = dimR(Img); alors Img 6= R4; cardimR4 = 4: Par conséquent g n’est pas surjective.
Théorème:Soient f :Rn!Rm et g :Rm!Rp deux applications linéaires.
Alors: g f :Rn!Rp est une application linéaire.
Théorème:Soit f :f :Rn !Rm une application linéaire bijective.
Alors: f 1 :f :Rm !Rn est une application linéaire.
2
