Slides de la pr&eacutesentation

(1)

et de leurs g´ en´ eralisations

V. Vong

Laboratoire d’Informatique Gaspard-Monge Universit´e Paris-Est Marne-la-Vall´ee

Th`ese soutenue le

8 d´ecembre 2014

Jury :

Guo-Niu HAN,rapporteur

Matthieu JOSUAT-VERG`ES,examinateur Jean-Gabriel LUQUE,examinateur Dominique MANCHON,rapporteur Cyril NICAUD,examinateur

(2)

(3)

C’est l’art de compter des objets.

(4)

Des arbres

(5)

Des mots

(6)

Des permutations

1

12 21

123 132 312 213 231 321

(7)

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

L’´etude de lois d’assemblages sur des objets combinatoires.

31212 = 31245+31425+34125+43125+31452 +34152+43152+34512+43512+45312.

(8)

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

312·₁12 = 31245.

213·₂21 = 43521.

+34152+43152+34512+43512+45312.

(9)

312·₁12 = 31245.

213·₂21 = 43521.

31212 = 31245+31425+34125+43125+31452 +34152+43152+34512+43512+45312.

(10)

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

Exemple :

X

n≥0

n!tⁿ= 1 1−g(t), o`ug(t) =X

n≥1

gntⁿ,gn∈N.

Les permutations connexes. X

σ∈S

σ = 1

1−X

σ∈C

σ.

(11)

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

Exemple :

X

n≥0

n!tⁿ= 1 1−g(t), o`ug(t) =X

n≥1

gntⁿ,gn∈N.

Interpr´etation combinatoire des g_n?

X

σ∈S

σ = 1

1−X

σ∈C

σ.

(12)

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

Exemple :

X

n≥0

n!tⁿ= 1 1−g(t), o`ug(t) =X

n≥1

gntⁿ,gn∈N.

Interpr´etation combinatoire des g_n? Les permutations connexes.

σ∈S 1−

σ∈C

σ

(13)

Exemple :

X

n≥0

n!tⁿ= 1 1−g(t), o`ug(t) =X

n≥1

gntⁿ,gn∈N.

Interpr´etation combinatoire des g_n? Les permutations connexes.

X

σ∈S

σ = 1

1−X

σ∈C

σ.

(14)

Plan

D´efinitions d’objets combinatoires

1 Construction d’alg`ebres quotients

2 Polynˆomes eul´eriens et nombres d’Euler

3 Combinatoire des alg`ebres dendriformes

Perspectives

(15)

Plan

Combinatoire alg´ebrique des permutations

(16)

Combinatoire alg´ebrique des permutations

Perspectives

(17)

Objets combinatoires

Les permutations

Une bijection entre arbres binaires croissants et permutations Des statistiques classiques sur les permutations

(18)

Objets combinatoires

Les permutations Les arbres

Des statistiques classiques sur les permutations

(19)

Objets combinatoires

Une bijection entre arbres binaires croissants et permutations

(20)

Une bijection entre arbres binaires croissants et permutations Des statistiques classiques sur les permutations

(21)

D´efinition

Permutationde taillen : bijection sur{1,· · · ,n}.

S_n : ensemble des permutations de taillen, S :t_n∈_NS_n.

Exemple : σ = 859723416 8

5 9

7

2 3

4

1 6

(22)

D´efinition

Permutationde taillen : bijection sur{1,· · · ,n}.

S_n : ensemble des permutations de taillen, S :t_n∈_NS_n.

Nombre de permutations de taille n : n!.

(23)

Objets combinatoires

D´efinition

Un arbre binaire T est soit le vide∅,

soit un triplet (•,T₁,T₂) o`u T₁ etT₂ sont des arbres binaires.

On représente généralement un arbre binaireT sous la forme

•

T₁ T₂ .

C_n= 1 n+ 1

2n n

.

(24)

D´efinition

Un arbre binaire T est soit le vide∅,

soit un triplet (•,T₁,T₂) o`u T₁ etT₂ sont des arbres binaires.

On représente généralement un arbre binaireT sous la forme

•

T₁ T₂ .

Nombre d’arbres ayant n nœuds (n^enombre de Catalan) : C_n= 1

n+ 1 2n

n

.

(25)

Exemples d’arbres ´etiquet´es :

×

~

a a⁰

b⁰ ×

b c

1 2 5

8 7

9

3 4 6

(26)

D´efinition

Un arbre binaire croissantde taillen est un arbre binaire de taillen tel que :

´

etiquet´e par des entiers ;

´

etiquettes des nœuds distinctes deux `a deux ;

un nœud a une ´etiquette strictement plus grande que celle de son p`ere.

Exemple :

1 2

5

8 7

9

3 4

6

(27)

Arbre croissant d’une permutation Pour σ =uav, o`u a= min(σ).

C(σ) = (a,C(u),C(v)). Pour σ = 859723416, on a :

(28)

1

8597234 6

(29)

1 2

8597 34

6

(30)

1 2

5

8 97

3 4

6

(31)

1 2

5

8 7

3 4

6

(32)

Une bijection

Lecture infixe d’un arbre Lecture dans l’ordre suivant :

fils gauche

fils droit

(33)

Une bijection

fils gauche racine

(34)

fils gauche racine fils droit

(35)

1 2

5

8 7

3 4

6

(36)

1 2

5

8 7

9

3 4

6

(37)

2 1

8 5 7

9

3 4

6

(38)

1 2

5

8 9 7 3 4 6

(39)

859723416.

(40)

1 2

5

8 7

9

3 4

6

1 2

5

8 97 3 4 6

(41)

Quelques statistiques sur les permutations

Soit σ un ´el´ement deS_n. Par convention, σ0 = 0 etσn+1 = 0. Soiti un entier compris entre 1 et n. La valeurσ_i est un(e) :

pic

σi

σi−1 σi+1

vall´ee

σi

σ_i−1 σi+1

double mont´ee σi

σ_i−1

σi+1

double descente σi

σi−1

σi+1

(42)

Exemple : σ = 859723416

8

5 9

7

2 3

4

1

6 P(σ) = {8,9,4,6}

V(σ) = {5,2,1}

Dm(σ) = {3}

Dd(σ) = {7}

(43)

Arbre binaire croissant deσ = 859723416 :

1

2

5

8 7

9

3

4 6

pic ←→ feuille

vallée ←→ nœud avec deux enfants double montée ←→ nœud avec un enfant à droite double descente ←→ nœud avec un enfant à gauche

(44)

Probl` emes alg´ ebriques

Pr´esentation de l’alg`ebreFQSym

Construction d’ensembles quotients `a partir de statistiques

(45)

Probl` emes alg´ ebriques

Une traduction combinatoire d’un probl`eme alg´ebrique

(46)

Une traduction combinatoire d’un problème algébrique Construction d’ensembles quotients à partir de statistiques

(47)

D´efinition (Malvenuto-Retenauer 1995) On pose

FQSym:=M

n≥0

K[Sn].

Dans la base des Fσ deFQSym, le produit est donné par le mélange décalé :

F_σF_τ = X

s∈στ

F_s

(48)

D´efinition

v =v₁· · ·v_m,w =w₁· · ·w_n vw =v sin = 0 ; vw =w si m= 0 ;

vw = (w v1· · ·vm−1)vm+ (w1· · ·wn−1v)wn.

vw :=vw[max(v)], o`u w[k] = (w1+k)(w2+k)· · ·(wn+k).

Exemple avecσ =312et τ =12:

F312F12 = F31245+F31425+F34125+F43125+F31452

+F34152+F43152+F34512+F43512+F45312.

(49)

Des quotients pour une relation d’´equivalence

∼: relation d’´equivalence sur S.

I :=vect((Fσ−Fτ)σ∼τ).

I = id´eal bilat`ere ?

σ ∼τ et s, deux bijections

φ_s :σs →τ s telle queφ_s(p)∼p, ψs :sσ→sτ telle queψs(p)∼p.

(50)

Exemples de relation d’´equivalence

Notations D´efinitions

(P,V, Dm∪Dd) mêmes pics, vallées, et même réunion de doubles montées et de doubles descentes Exemple : pour 4132et 2413 on a

P={3,4}, V={1} et Dm ∪Dd={2}.

(51)

Exemples de relation d’´equivalence Notations D´efinitions

(P∪ Dd, V∪ Dm) même réunion de pics et de doubles descentes, même réunion de vallées et de doubles descentes Exemple : pour 35142 et 13542on a

P ∪Dd={5,4,2}et V∪ Dm={1,3}.

(52)

Th´eor`eme (V. 2012)

Ensembles quotients dimensions alg`ebres quotients alg`ebres libres

(P, V, Dm, Dd) Cn oui oui

(P,V, Dm∪Dd) Mn−1 oui oui

(P,V∪Dm ∪Dd) _bⁿ⁻¹n−1 2 c

non non

(P ∪V∪ Dm, Dd) 2ⁿ⁻¹ non non

(P∪ V, Dm, Dd) ³ⁿ⁻¹₂⁺¹ non non

(P, Dm, V∪ Dd) An−1 non non

(P ∪V, Dm∪Dd) 2ⁿ⁻² non non

(P ∪Dd, V ∪Dm) 2ⁿ⁻¹ oui oui

(P ∪V∪ Dm∪Dd) 1 oui oui

(53)

Que doit-on d´emontrer ?

Etape 1 : bijection´ φdeσs versτ s telle que φ(p)∼p.

Etape 2 : bijection´ ψ desσ verssτ telle queψ(p)∼p.

Etape 1´

Interprétation du mélange décalé en termes d’arbres croissants.

Exemple de construction de la bijection.

Etape 2´

Mˆemes arguments de preuve en prenant les arbres d´ecroissants.

(54)

Pour σ1 =52341,s =3421,σ =859723416∈σ1s, on a 1

2

5 3

4

1

2

5

8 7

9

3

4 6

(55)

Pour σ1 =52341,σ2=35241, et s =3421 :

C(σ) 1 2 5 8 7

9 3

4 6

C(σ2) 1 2 3

5 4

(56)

Pour σ1 =52341,σ2=35241, et s =3421 :

C(σ) 1 2 5 8 7

9 3

4 6

C(φ(σ)) 1 2 3

5

. .

4 .

(57)

Pour σ1 =52341,σ2=35241, et s =3421 :

C(σ) 1 2 5 8 7

9 3

4 6

C(φ(σ)) 1 2 3

5 8 .

4 .

(58)

Pour σ1 =52341,σ2=35241, et s =3421 :

C(σ) 1 2 5 8 7

9 3

4 6

C(φ(σ)) 1 2 3

5 8 7

9 4

.

(59)

Pour σ1 =52341,σ2=35241, et s =3421 :

C(σ) 1 2 5 8 7

9 3

4 6

C(φ(σ)) 1 2 3

5 8 7

9 4

6

(60)

Autres propri´ et´ es

Propri´et´es du quotient (V. 2012)

Algèbre libre : grâce à la bijection de Fran¸con-Viennot (1979) ;

(61)

Propri´et´es du quotient (V. 2012)

Algèbre libre : grâce à la bijection de Fran¸con-Viennot (1979) ; Un raffinement d’une base de Sym construite par Tevlin (2007).

(62)

Un autre produit sur FQSym Une statistique classique

Polynˆomes eul´eriens et nombres d’Euler

(63)

La base desG

En posant pour une permutation σ,G_σ =F_σ⁻¹, Le produit s’exprime dans cette base sous la forme :

G_σG_τ = X

w=uv std(u)=σ std(v)=τ

G_w.

Exemple :

k b a b z e v k donc : std(w) = 52138476.

(74)

Une statistique classique : les descentes

D´efinition σ ∈S_n.

Positioni = descente si σ_i > σ_i₊₁. Mont´ee, sinon.

Pour σ = 859723416 :

(75)

Une statistique classique : les descentes

Pour σ = 859723416 :

8

(76)

Une statistique classique : les descentes

Pour σ = 859723416 :

8 5

(77)

Pour σ = 859723416 :

8 5 9

7

2 3 4

(82)

Une statistique classique : les descentes

Pour σ = 859723416 :

8 5 9

7

2 3 4

1

(83)

Une statistique classique : les descentes

Pour σ = 859723416 :

8 5 9

7

2 3 4

1 6

(84)

Pour σ = 859723416 :

8 5 9

7

2 3 4

1 6 Des(σ) ={1,3,4,7}.

(85)

D´efinition Pour n≥0 :

An(t) := X

σ∈Sn

t^des(σ).

A(x,t) :=X

n≥0

A_n(t)xⁿ

n! = t−1

t−exp (x(t−1)). A est la solution de l’´equation

F(x) = 1 +t Z x

0

F(s) (F(s)−1)ds+ Z x

0

F(s)ds.

(86)

Dans K[[x]] :

B(f,g) :=

Z x 0

f(s)g(s)ds.

L’´equation

F = 1 +t Z x

0

F(s) (F(s)−1)ds+ Z x

0

F(s)ds.

devient

F = 1 +tB(F,F −1) +B(F,1).

(87)

D´efinition

Série génératrice des nombres d’Euler : X

n≥0

En

xⁿ

n! = tan(x) + 1 cos(x). Equation fonctionnelle de tan :´

F =x+B(F,F).

(88)

D´efinition

σ est alternantesi

σ1 < σ2 >· · ·< σ2i >· · ·> σ2j+1<· · · . Exemple : σ = 48273516 est alternante.

4 8

2 7

3 5

1 6

(89)

Th´eor`eme (Euler) Pour n≥0 :

A_2n+1(−1) = (−1)ⁿE_2n+1,

A_2n+2(−1) = 0,

(90)

L’applicationE

Soit σ∈S_n. On d´efinit Epar :

E(Gσ) = xⁿ n!.

Proposition

L’applicationE est un morphisme d’alg`ebre surjectif deFQSym versK[[x]].

(91)

De FQSym vers K [[x]]

D´emonstration :

G_σG_τ : ^n+m_n

termes. Donc,E(G_σG_τ) = ^n+m_n _x^n+m

(n+m)!.

E(Gσ)E(Gτ) =^x_n!ⁿ^x_m!^m = ^(n+m)!_n!m! _(n+m)!^x^n+m = ^n+m_n _x^n+m

(n+m)!. Donc E(G_σG_τ) =E(G_σ)E(G_τ).

(92)

De FQSym vers K [[x]]

D´emonstration : σ ∈S_n etτ ∈S_m.

E(Gσ)E(Gτ) =^x_n!ⁿ^x_m!^m = ^(n+m)!_n!m! _(n+m)!^x^n+m = ^n+m_n _x^n+m

(93)

De FQSym vers K [[x]]

D´emonstration : σ ∈S_n etτ ∈S_m. GσGτ : ^n+m_n

termes. Donc,E(GσGτ) = ^n+m_n _x^n+m

(n+m)!.

Donc E(G_σG_τ) =E(G_σ)E(G_τ).

(94)

De FQSym vers K [[x]]

(n+m)!.

E(Gσ)E(Gτ) = ^x_n!ⁿ^x_m!^m = ^(n+m)!_n!m! _(n+m)!^x^n+m = ^n+m_n _x^n+m

(n+m)!.

(95)

(n+m)!.

E(Gσ)E(Gτ) = ^x_n!ⁿ^x_m!^m = ^(n+m)!_n!m! _(n+m)!^x^n+m = ^n+m_n _x^n+m

(96)

Application B_max (Hivert, Novelli, Thibon 2008) Pour σ et τ dansS. Posons :

B_max(G_σ,G_τ) := X

w=u(|σ|+|τ|+1)v std(u)=σ std(v)=τ

G_w.

Exemple :

B_max(G₃₁₂,G₂₁) =G₃₁₂₆₅₄+G₅₁₂₆₄₃+G₄₁₂₆₅₃+· · ·+G₅₃₄₆₂₁. Remarque :

E(Bmax(Gσ,Gτ)) =B(E(Gσ),E(Gτ)) =

Z x s^|σ|+|τ|

|σ|!|τ|!ds.

(97)

L’´equation

F = 1 +tB(F,F −1) +B(F,1). admet donc comme analogue dansFQSym :

F= 1 +tB_max(F,F−1) +B_max(F,1) La solution de cette ´equation est donn´ee par :

F= X

σ∈S

t^des(σ)G_σ

(98)

Pour t =−1, l’´equation

F = 1 +tB(F,F −1) +B(F,1) admet un autre analogue dansFQSym :

F= 1−B_max(F,F−1) +B_max(1,F). La solution de cette ´equation est donn´ee par :

F= 1 + X

σ∈A1

(−1)^|σ|−1² G_σ,

o`uA₁ d´esigne l’ensemble des permutations alternantes impaires.

(99)

R´ ecapitulatif

Construction (V. 2013)

FQSym K[[x]]

F= 1−B(F,F−1) +B(1,F) F= 1−Bmax(F,F−1) +Bmax(1,F)

F= 1−Bmax(F,F−1) +Bmax(F,1) E F= 1−B(F,F−1) +B(F,1)

E

=

X

n≥0

An(−1)xⁿ n! X

σ∈S

(−1)^des(σ)Gσ E

=

(100)

Construction (V. 2013)

FQSym K[[x]]

F= 1−B(F,F−1) +B(1,F) F= 1−Bmax(F,F−1) +Bmax(1,F)

F= 1−Bmax(F,F−1) +Bmax(F,1) E F= 1−B(F,F−1) +B(F,1)

E

=

X

n≥0

An(−1)xⁿ n!

1 +X

σ∈A₁

(−1)^|σ|−1² Gσ 1 +X

n≥0

(−1)ⁿE2n+1

x²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

X

σ∈S

(−1)^des(σ)Gσ

E

=

(101)

Corollaire (Euler) Pour n≥0 :

A_2n+1(−1) = (−1)ⁿE_2n+1, A2n+2(−1) = 0.

(102)

Autres applications

Rel`evement non commutatif et interpr´etations combinatoires

(103)

Relèvement non commutatif et interprétations combinatoires Relèvement non commutatif et bijection automatique

(104)

D´efinition et exemple

A propos des alg`` ebres dendriformes libres De la libert´e de FQSym

(105)

D´efinition (Loday 1998)

Une alg`ebre dendriforme (A,,≺) : A :K-ev ;

et ≺: applications bilin´eaires ; relations :







(a≺b)≺c = a≺(b≺c+b c) =a≺(b?c) a(b c) = (a?b)c

(ab)≺c = a(b≺c)

(106)







(ab)≺c = a(b≺c) Une manière de réécrire les relations :

(a≺b)≺c =a≺(b?c),

−→

(107)







(ab)≺c = a(b≺c) Repr´esentation en termes d’arbres d’´evaluation :

≺

=

?

≺

=

≺

+

≺

.

(108)

Structure dendriforme de FQSym

F_σ ≺F_τ := X

γ∈στ γn+m=σn

F_γ,

et

F_σ F_τ := X

γ∈στ γn+m=τm[n]

F_γ.

Remarque : =≺+.

(109)

El´éments de l’algèbre dendriforme A libre sur une famille de générateurs P :

≺ p₄ p₁

p₃ +

≺

p₆

p7 p1

p₁

(110)

Th´eor`eme (Novelli 2014)

Base de A : arbres binaires complets ´evitant les motifs suivants :

,

≺

, ≺

≺

.

(111)

Exemple : l’arbre

≺

x

x x x

x

contient le motif

≺

(112)

Exemple : l’arbre

≺

x

x x x

x

et ´evite

.

(113)

Th´eor`eme (Foissy 2007)

FQSym est une alg`ebre dendriforme libre.

FQSym dendriforme libre≈th´eor`eme de factorisation.

(114)

D´efinition

Produits r´eduits :

σ ≺⁰ τ =σ₁· · ·σn−1τ[n]σ_n; σ ⁰ τ =στ[n].

Pour σ =31452et τ =2431, on a :

σ≺⁰ τ =314579862, et

σ⁰ τ =314527986.

(115)

D´efinition

E ⊂ {≺⁰,⁰}.σ E -connexesi

(∀?∈E, σ =u?v) =⇒(u =σ ouv =σ).

Ind´ecomposable:{≺⁰,⁰}-connexe.

3412 : ind´ecomposable ;

2341 :{⁰}-connexe, mais pas{≺⁰}-connexe.

2341=231≺⁰ 1.

(116)

Soit σ une permutation. Trois cas possibles : soit σ est ind´ecomposable ;

soit σ=u⁰ v, avecv {⁰}-connexe ; soit σ=u≺⁰ v, avecu ind´ecomposable, avecu et v uniques s’ils existent.

Pour 213675984, on obtient :

213675984=213⁰342651.

(117)

Pour 213675984 :

⁰

213 342651

(118)

Pour 213675984 :

⁰ ⁰

21 1

≺⁰

1 23154

(119)

Pour 213675984 :

⁰ ⁰

≺⁰

1 1

1

≺⁰

1 ⁰

231 21

(120)

Pour 213675984 :

⁰ ⁰

≺⁰

1 1

1

≺⁰

1 ⁰

≺⁰

1 12

≺⁰

1 1

(121)

Un th´ eor` eme de factorisation sur les permutations

Pour 213675984 :

⁰ ⁰

≺⁰

1 1

1

≺⁰

1 ⁰

≺⁰ 1 ≺⁰

1 1

≺⁰

1 1

⁰ , ⁰ , ≺⁰ .

(122)

Pour 213675984 :

⁰ ⁰

≺⁰

1 1

1

≺⁰

1 ⁰

≺⁰ 1 ≺⁰

1 1

≺⁰

1 1

Pas de motif

⁰ ⁰

, ⁰

≺⁰

, ≺⁰

≺⁰

.

(123)

Type d’alg`ebres alg`ebres libre

dendriforme FQSym oui (Foissy 2007)

tridendriforme WQSym oui (Burgunder et Ronco 2010) quadrialg`ebre 2-permutations oui (V. 2014)

(124)

R´ esum´ e

Un quotient d’alg`ebre isomorphe `aPBT.

d’Euler.

Méthode combinatoire appliquée à des problèmes de liberté.

(125)

R´ esum´ e

Equations fonctionnelles reliant les polynˆ´ omes eul´eriens et les nombres d’Euler.

(126)

Equations fonctionnelles reliant les polynˆ´ omes eul´eriens et les nombres d’Euler.

Méthode combinatoire appliquée à des problèmes de liberté.

(127)

Perspectives

A partir des statistiques : nouvelle base de` PBT, la famille (L_T).

FQSym FQSym/∼ PBT ≈ FQSym/∼

Application de la méthode à d’autres types algèbres ?

M´ethodes combinatoires pour d’autres constructions alg´ebriques (ex : produit Manin ) ?

(136)

Slides de la pr&eacutesentation

et de leurs g´ en´ eralisations

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

Introduction : qu’est-ce que la combinatoire alg´ ebrique ?

Plan

Plan

Objets combinatoires

Objets combinatoires

Objets combinatoires

Objets combinatoires

Une bijection

Une bijection

Probl` emes alg´ ebriques

Probl` emes alg´ ebriques

Autres propri´ et´ es

Standardisation : exemple

Standardisation : exemple

Standardisation : exemple

Standardisation : exemple

Standardisation : exemple

Standardisation : exemple

Standardisation : exemple

Standardisation : exemple

Standardisation : exemple

Une statistique classique : les descentes

Une statistique classique : les descentes

Une statistique classique : les descentes

Une statistique classique : les descentes

Une statistique classique : les descentes

Une statistique classique : les descentes

Une statistique classique : les descentes

Une statistique classique : les descentes

Une statistique classique : les descentes

Une statistique classique : les descentes

De FQSym vers K [[x]]

De FQSym vers K [[x]]

De FQSym vers K [[x]]

De FQSym vers K [[x]]

R´ ecapitulatif

Autres applications

Un th´ eor` eme de factorisation sur les permutations

R´ esum´ e

R´ esum´ e

Perspectives

Perspectives

Perspectives

Perspectives

Perspectives

Perspectives

Merci de votre attention.