A363 - Permutations à la chaîne

On considère les fractions rationnelles a/b avec 0 < a < b qui admettent un développement décimal périodique de longueur n > 1, de la forme a/b = 0.d₁d₂d₃...dn d₁d₂d₃...dn.... avec le bloc d₁d₂d₃...dn

qui se répète à l'infini.

Par exemple : 2/7 = 0.285714285714....a un développement décimal périodique dont le bloc de longueur 6 est 285714.

On effectue une suite de permutations circulaires sur les chiffres de chaque bloc d₁d₂d₃...dn,.Lors d'une permutation le dernier chiffre de chaque bloc passe en première position de ce bloc tandis que les n ‒ 1 autres chiffres sont décalés d'un cran vers la droite et l'on obtient à nouveau l'écriture d'une fraction rationnelle.

Soit rk(a/b) la k-ième fraction rationnelle obtenue à l'issue d'une k-ième permutation circulaire opérée sur a/b avec k entier positif quelconque.

Par exemple à partir de a/b = 2/7, on a r₁(2/7) = 0.428571428571... = 3/7 puis r₂(2/7) =

0.142857142857... = 1/7, r₃(2/7) = 0.714285714285.. = 5/7 etc....r₇(2/7) = 0.285714285714.. = 2/7 etc...

Sachant que r₈(a/b) = 2r₂(a/b) et r₄(a/b) = 4r₈(a/b), déterminer la plus petite fraction a/b dont le développement décimal a la plus petite période n > 1 possible puis calculer r₂₀₁₆(a/b).

Posons e/b=r

(a/b) ; r

(a/b)=f/b ; r

(a/b)=g/b : donc g=2e, f=4g=8e Il existe x<100 et y<10000 tels que 100r

=x+r

, 10000r

=y+r

donc

100f-e=xb, 10000g-f=yb, soit xb=799e et yb=9996f ; 799 et 9996 ayant le facteur commun 17, nous avons au minimum b=17. On constate alors que :

1/17= 0,05 8823529411764705 8823529411764705

2/17= 0,11 764705 8823529411764705 8823529411764705 4/17= 0,23529411 7647058823529411

8/17= 0,4705 8823529411764705 8823529411764705 13/17=0,7647058823529411 764705...

15/17=0,8823529411764705 8823529411764705...

16/17=0,9411 7647058823529411...

Il y a donc deux possibilités, a/b=13/17 ou 15/17 ; on retient la plus petite, donc r

(a/b)=2/17, r

(a/b)=16/17, r

(a/b)=4/17 et

r

=r

=0,82352941176470 588...=14/17

A363 - Permutations à la chaîne