A363 - Permutations à la chaîne
On considère les fractions rationnelles a/b avec 0 < a < b qui admettent un développement décimal périodique de longueur n > 1, de la forme a/b = 0.d₁d₂d₃...dn d₁d₂d₃...dn.... avec le bloc d₁d₂d₃...dn qui se répète à l'infini.
Par exemple : 2/7 = 0.285714285714....a un développement décimal périodique dont le bloc de longueur 6 est 285714.
On effectue une suite de permutations circulaires sur les chiffres de chaque bloc d₁d₂d₃...dn,.
Lors d'une permutation le dernier chiffre de chaque bloc passe en première position de ce bloc tandis que les n ‒ 1 autres chiffres sont décalés d'un cran vers la droite et l'on obtient à
nouveau l'écriture d'une fraction rationnelle.
Soit rk(a/b) la k-ième fraction rationnelle obtenue à l'issue d'une k-ième permutation circulaire opérée sur a/b avec k entier positif quelconque.
Par exemple à partir de a/b = 2/7, on a r₁(2/7) = 0.428571428571... = 3/7 puis r₂(2/7) = 0.142857142857... = 1/7, r₃(2/7) = 0.714285714285.. = 5/7 etc....r₇(2/7) = 0.285714285714..
= 2/7 etc...
Sachant que r₈(a/b) = 2r₂(a/b) et r₄(a/b) = 4r₈(a/b), déterminer la plus petite fraction a/b dont le développement décimal a la plus petite période n > 1 possible puis calculer r₂₀₁₆(a/b).
Solution par Patrick Gordon
Soit B le bloc (ex. 285714), d son dernier chiffre (ex. 4) et n sa longueur (ex. 6).
Une permutation le transforme en : B’ = (B−d) / 10 + d 10n-1.
Soit encore :
B’ = [B + d (10n – 1)] / 10.
Si a/b = 0,BBB… = 0,B (1 + 10-n +10-2n + …) = B / (10n − 1), on a :
B = (10n − 1) a/b donc :
B’ = (10n − 1) (a/b + d) / 10.
Si :
B’ = (10n − 1) a’/b on a :
1) a’ = (a + bd) / 10
Exemple :
a’ = (2 + 7 4) / 10 = 3
Muni de la récurrence (1) on peut chercher, au moyen d’un tableur la plus petite période telle que r₄(a/b) = 4r₈(a/b) = 8r₂(a/b). Comme a < b et que r₄(a/b) = 8r₂(a/b), cette période ne saurait être de longueur n < 8.
La période de b = 13 n’étant que de longueur 6, il faut passer à b = 17, dont la période est de longueur 16.
On trouve deux solutions : a = 15 et a = 131. La plus petite est la fraction :
13/17 = 0,7647058823529411 … On constate que :
r2 = 2/17 = 0,1176470588235294 … r4 = 16/17 = 0,9411764705882352 … r8 = 4/17 = 0,2352941176470588 …
ce qui satisfait bien la condition r₄(a/b) = 4r₈(a/b) = 8r₂(a/b).
La fraction a/b cherchée est donc 13/17.
Quant au calcul de r₂₀₁₆(a/b), on remarque que 2016 est un multiple de 16, longueur de la période.
Donc : r₂₀₁₆(13/17) = 13/17.
Précision
On ne trouve que deux solutions.
En effet, si l’on prend les décimales d'une fraction a/17 quelconque (ici 1/17), colonne de droite, et que l'on calcule les a successifs par la formule (1), colonne de gauche, on constate que le motif 1, 8, 2 ou 2, 16, 4 avec le bon espacement k, k +2, k+6 ne se produit que 2 fois.
1 0
12 5
8 8
1 voir in fine
11 8 13 2
3 3
2 5
7 2
16 9
5 4
9 1
6 1
4 7
14 6 15 4 10 7
