CONTINUITE D UNE FONCTION THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES -

Plan du cours :

I. Continuité d’une fonction

II. Propriétés des fonctions continues

III. Image d’un intervalle par une fonction continue IV. Théorème des valeurs intermédiaires

V. Théorème des valeurs intermédiaires dans le cas des fonctions strictement monotones.

VI. Algorithme de dichotomie.

CONTINUITE D’UNE FONCTION

THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES -

Notion intuitive de continuité :

Une fonction définie sur un intervalle I est continue sur cet intervalle I si sa courbe représentative ne présente aucune rupture

(on peut tracer la courbe sans lever le crayon !)

I. Continuité d’une fonction

Définition 1:

Soit a un nombre réel de l’intervalle I, inclus dans l’ensemble de défnition de la fonction.

On dit que la fonction f est continue en a lorsque f admet une limite en a égale à f a( )

on note lim ( ) ( )

x a f x f a

→ = ou bien

lim (0 ) ( )

h f a h f a

→ + =

Définition 2 :

Soit a un nombre réel de l’intervalle I, inclus dans l’ensemble de défnition de la fonction.

On dit que la fonction f est continue sur l’intervalle I lorsqu’elle est continue en tout réel a de cet intervalle.

Exemple 1 : La fonction f est définie sur par ( ) ₂ ^{6 si 3}

si 3

x x

f x

x x

+ 

= 

  .

Cette fonction est-elle continue en 3 ? Limite à gauche : ( ) ( )

3 3

3 3

lim lim 6 9

x x

x x

f x x

→ →

 

= + = .

Limite à droite : ( )

3 3

3 3

lim lim ² 9

x x

x x

f x x

→ →

 

= = . De plus, ^f ( )^{3 =9}.

On a ( ) ( ) ( )

3 3

3 3

lim lim 3

x x

x x

f x f x f

→ →

 

= = donc f est continue en 3.

La fonction est continue La fonction n’est pas continue

Magnard : exercice résolu n°2 page 115

Exemple 2 : Soit f la fonction définie sur par :

( ) ^{5 si 2}

7 si 2

x x

f x x

+ 

=   Cette fonction est-elle continue en 2 ?

Exemple 3 : Soit f la fonction définie sur par : ( ) ^{3 1 si 0}

2 si 0

e x x

f x

x x

 + 

= 

+ 

 Cette fonction est-elle continue en 0 ?

Exemple 4 de la fonction partie entière : La fonction appelée « partie entière » et notée E est définie pour tout x réel par E x( )=n, où n est l’unique entier relatif tel que n  +x n 1. On a donc E x( ) x E x( ) 1+ . On dit aussi « E x^{( )}= le plus grand entier inférieur ou égal à x. Cette fonction E est continue sur tout intervalle du type



^{k k; +1}



, où k est un entier relatif mais elle est discontinue en tout entier relatif k.

En effet

2 2

2 2

lim ( ) 2 et lim ( ) 1

x x

x x

E x E x

→ →

 

= = donc la fonction partie entière n’a pas de limite en 2 puisque ses deux limites à droite et à gauche sont différentes.

On montre de même que la fonction E est non continue aux autres points d’abscisses entières. Cette fonction est dite « en escalier »

Par exemple E(3, 218)=3 et ( 2, 4)E − = −3

Méthode pour vérifier si une fonction est continue en un réel de son ensemble de définition : On étudie la limite de f en a : 3 cas se présentent :

1) f n’a pas de limite en a, donc on conclut facilement que f n’est pas continue en a.

2) f a une limite en a qui est infinie, donc on conclut que f n’est pas continue en a.

3) f a une limite en a qui est un nombre fini, alors on regarde si ce nombre vaut f(a) ou non ;

a. si lim ( ) ( )

x a f x f a

→ = alors f est continue en a.

b. si lim ( ) ( )

x a f x f a

→  alors f n’est pas continue en a.

On dira aussi :

« La partie entière d’un réel x est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. »

Exemple 5 : On considère la fonction f définie par

² 2

( ) si 0

(0) 2

x x

f x x

x f

 = + 



 =



Cette fonction est définie sur .

Cette fonction est-elle continue en 0 ?

( )

0 0 0

² 2

lim ( ) lim lim 2 2

x x x

x x

f x x

→ → x →

 + 

=  = + = donc on a bien

0

lim ( ) (0) 2

x f x f

→ = = f est continue en 0 II. Propriétés des fonctions continues

 Propriétés admises :

• Les fonctions ^{x xn} (^{n *}) sont continues sur .

• La fonction valeur absolue^{x x} est continue sur .

• La fonction racine carrée x x est continue sur



^0;+



• Les fonctions x sinx et x cosx sont continues sur .

• Les fonctions x ¹_n

x (n *) sont continues sur



^{−; 0}



^{et sur}



^0;+



Une fonction définie en a et admettant une limite finie en a est continue en a.

La somme et le produit de fonctions continues en a sont des fonctions continues en a.

L’inverse d’une fonction continue et non nulle en a est continue en a.

Pour une fonction f continue en a et une fonction g continue en ^{f a}( ), la composée gof est continue en a.

Les fonctions polynômes, cosinus, sinus, valeur absolue sont continues sur R.

Les fonctions rationnelles et racines carrées sont continues sur leurs ensembles de définition.

Exemple 6 :

4 ² 1

( ) ² 1

x x

h x x

= + +

+ est définie sur On s’intéresse à la continuité de la fonction sur

La fonction x x⁴+x² 1+ est une fonction polynôme donc continue sur La fonction x x est une fonction continue sur ⁺

Par composition, on en déduit la continuité de la fonction ^{x x4+ +x² 1}

De même la fonction x x² 1+ est une fonction polynôme donc continue sur et non nulle.

Par quotient on a donc que la fonction

4 ² 1

( ) ² 1

x x x h x

x

= + +

+ est continue sur

Exemple 7 :

sin 2

0 ( )

0 x si x

m x x

 si x

 

= 

 =



Quelle valeur faut-il donner à pour que la fonction m soit continue sur

On sait que m est continue en a si et seulement si lim ( ) ( )

x am x m a

→ =

La fonction x 2x est une fonction polynôme donc continue sur La fonction u sinu est une fonction continue sur

donc par composition la fonction x sin 2x est continue sur et quand x0la fonction m est le quotient de deux fonctions continues sur *

En 0 : on se ramène à la limite connue :

0

limsin 1

U

U

→ U = et donc ( ) ^{sin 2} 2 ^{sin 2} 2

x x

m x = x =  x

On pose U=2x et on a

0 0

sin 2 sin

lim 2 lim 2 2

2

x U

x U

x U

→ = → =

0

lim ( ) 2

x m x

→ = si on pose =2, on aura

lim ( )0 (0) 2

x m x m 

→ = = = m fonction continue sur Exemple 8 :

2 4 ²

0 ( )

0 x si x

p x x

 si x

 − + 

= 

 =



Quelle valeur faut-il donner à pour que la fonction p soit continue sur ?

III. Image d’un intervalle par une fonction continue

Exemple 9 : :

• Quelle est l’image de l’intervalle ^−1;3 par la fonction f x: →x²− +x 3 ?

• L’image de l’intervalle ^−3;1 par la fonction : ^² 2 f x x

→ x

− est l'intervalle

( ) ( )

^{3 ; 1}

f − f

 

 est-elle une affirmation vraie ou fausse ?

• Si l’image de l’intervalle ^−1;1 par une fonction g est un intervalle, alors g est continue sur ^−1;1 est-elle une affirmation vraie ou fausse ?

L’image d’un intervalle

 

^{a b;} par une fonction continue est un intervalle fermé même si la fonction n’est pas monotone.

L’image de

 

^{a b;} par f est l’intervalle



^{m M;}



Remarques : quand f est monotone croissante alors ^f

(  

^{a b;}

)

^{= }_^{f a}( ) ( )^{; f b }_

quand f est monotone décroissante alors ^f

(  

^{a b;}

)

^{= }_^{f b( ) ( ); f a }_

IV. Théorème des valeurs intermédiaires

 Théorème des valeurs intermédiaires 1^ère formulation (admis) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle

 

^{a b; , a b}

Alors pour tout réel k compris entre ^{f a}( ) ^{et f b}( ) il existe au moins un réel c de l’intervalle

 

^{a b;} tel que ^{f c}( )^=k

 Théorème des valeurs intermédiaires 2^ème formulation Soit f une fonction continue sur un intervalle

 

^{a b;} .

Alors pour tout réel k compris entre ^{f a}( )et ^{f b}( ), l’équation ^{f x}( )^{=k admet au} moins une solution dans

 

^{a b; .}

Exemple 10 : Soit f la fonction définie sur R par ^{f x}( )^=e3x+x . Montrer que, pour tout k1;1+e³, l’équation ^{f x}( )^=k admet au moins une solution dans

 

^0;1

• si f est une fonction continue sur le segment

 

^{a b;} , alors pour toute valeur de k comprise entre ^{f a}( )^et

( )

f b la courbe (C ) d’équation ( )

y= f x et la droite d’équation

y=k s’interceptent au moins une fois.

• les abscisses de ces points

d’intersection sont les solutions de l’équation ^{f x}( )^=k

On dira aussi : « f prend entre a et b, toute valeur intermédiaire entre f(a) et f(b). »

Magnard : exercices résolus n°4 et 6 page 117-119

V. Théorème des valeurs intermédiaires dans le cas des fonctions monotones

 1^er cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires quand la fonction est strictement monotone sur [a ;b]

Démonstration : Soit une fonction f continue et strictement monotone sur l’intervalle

 

^{a b;} . Soit k un réel compris entre ^{f a}( )^{et f b}( )

• Puisque f est continue sur

 

^{a b;} , d’après le TVI, l’équation f x( )=k admet au moins une solution comprise entre a et b

• Puisque f est strictement monotone sur

 

^{a b;} , cette solution est unique : en effet,

supposons qu’il existe deux réels x1 et x2 tels que f x( )₁ =k et f x( ₂)=k. On aurait alors

1 2

( ) ( )

f x = f x ce qui est impossible à cause de la stricte monotonie de f sur

 

^{a b;} qui impose que x₁ x₂  f x( )₁  f x( ₂)

Exemple 11 : Soit f la fonction définie sur R par ^{f x}( )^{=x3−3x2−1} . Quel est le nombre de solutions de l’équation ^{f x}( )^{=4 sur ?}

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle

 

^{a b; .}

Alors pour tout réel k compris entre ^{f a}( )et ^{f b}( ) il existe un unique réel c de l’intervalle

 

^{a b; tel que f c}( )^=k

 2^ème cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires quand la fonction est strictement monotone sur [a ; b]

Exemple 12 : soit f la fonction définie sur R par f x( )= +(1 x)³+x

Démontrer que l’équation f x( )=0 admet une unique solution  dans l’intervalle [-1 ;0] et donner un encadrement de  d’amplitude 10^-2

On étudie le sens de variation de f : f x'( )=3(1+x)²+1 f '( )x 0 donc f monotone croissante sur R.

de plus f( 1)− = −1 et (0)f =1 donc f( 1)− f(0)0.

L’équation f x( )=0 admet une unique solution  dans l’intervalle [-1 ;0]

Encadrement de  par un tableau de valeurs :

x -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1

( )

f x -0,899 -0,792 -0,673 -0,536 -0,375 -0,184 0,043 0,312 0,629 on en déduit que −0, 4  − 0, 3

Représentation graphique pour vérifier :

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle

 

^{a b; .}

Si ^{f a f b}( ) ( )^0 alors l’équation ( ) ⁰

f x = admet une solution unique dans

 

^{a b; .}

VI. Algorithme de dichotomie

Exemple 13 : Méthode de la dichotomie

On a représenté ci-contre la fonction f définie par f(x)=x³−7x.

L'objectif est de déterminer, sur l'intervalle [2 ; 4], un

encadrement de la solution  de l'équation f(x)=0 avec une précision p choisie.

En effet, sur l'intervalle [2 ; 4], la fonction f est strictement croissante et l'équation f(x)=0 admet une solution unique.

(Théorème des valeurs intermédiaires).

Le principe, appelé dichotomie, est le suivant :

• On calcule l'image du centre de l'intervalle [2;4] : le centre de l'intervalle est 3 et f(3)0donc  < 3.

• On poursuit donc la recherche de  sur l'intervalle [2;3] : on calcule l'image du centre de l'intervalle [2;3] : le centre de l'intervalle est 2,5 et f(2,5)0. Donc  > 2,5.

• On poursuit donc la recherche de  sur l'intervalle [2,5;3].

• On répète le processus tant que l’amplitude de l’intervalle est supérieure à la précision choisie.

1) Compléter et prolonger le tableau suivant dans le but d'obtenir un encadrement d’amplitude 0,1 :

a b

Amplitude de l'intervalle :

b−a

Centre de l’intervalle :

2 a b+

Image du centre : 2

a b f  + 

 

 

Signe de l'image du centre

Encadrement de α

2 4 2 3 6 + 2 < α < 3

2 3 1 2,5 -1,875 - 2,5 < α < 3

2) Voici un algorithme qui doit permettre d'obtenir

un encadrement de la solution  de l'équation f(x)=0 avec une précision p choisie.

3) Ecrire le programme à tester à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel d’algorithme pour déterminer un encadrement de la solution avec une précision p = 0,001.

Indications : Si « IF » ; Alors : « Then » ; Sinon : « Else » ; fin Si « End »

Cet algorithme n’est valable que dans le cas d’une fonction croissante.

Langage naturel Entrée

Saisir les réels a, b, p Initialisation

Affecter à T la valeur b – a Traitement des données Tant que T > p

Affecter à x la valeur (a + b)/2 Affecter à y la valeur x³ – 7x Si y > 0

Alors affecter à b la valeur x Sinon

Affecter à a la valeur x Fin Si

Affecter à T la valeur b – a Fin tant que

Sortie

Afficher a et b

corrigé exemple13 :

a b Amplitude de

l'intervalle : Centre Image du centre

Signe de l'image du

centre

Encadrement de α

2 4 2 3 6 + 2 < α < 3

2 3 1 2,5 -1,875 - 2,5 < α <3

2,5 3 0,5 2,75 1,54 + 2,5 < α <2,75

2,5 2,75 0,25 2,625 -0.287 - 2,625 < α <2,75

2,625 2,75 0.125 2,6875 0,598 + 2,625 < α <2,6875

2,625 2,6875 0,0625 2,6 < α <2,7

Programme DICHOTOMIE 1

Prompt A, B, P B-A sto → T While T>P (A+B)/2 sto →X X^3-7X sto → Y If Y>0

Then X sto →B Else X sto →A End

B-A sto →T End

Disp “A”,A DIisp “B”, B

Exécution: A=2 B=4 P=0.1 Réponses : A=2.625 B=2.6875 2,6<α<2,7 Exécution: A=2 B=4 P=0.01 Réponses : A=2.640625 B=2.6484375 2,64<α<2,65 Exécution: A=2 B=4 P=0.001 Réponses: A=2.645507 B=2.646484 2,645<α<2,656

Exemple 14 : Méthode de la dichotomie

On a représenté ci-contre la fonction f définie par f x( )=xe^x−1 sur [-2 ;1].

1) Etudier le sens de variation de f sur [-2 ;1].

2) Justifier que l’équation f x( )=0admet une solution unique  sur [0 ; 1].

3) En choisissant une fenêtre adaptée, afficher sur l’écran d’une calculatrice le tracé de la représentation graphique de f.

Utiliser ce tracé pour fournir une approximation de  .

4) A l’aide de l’algorithme ci-contre, l’objectif est de déterminer sur

l'intervalle [0 ; 1], un encadrement de la solution  de l'équation f(x)=0 avec une précision 10^-n choisie.

a) L’algorithme suivant comprend des erreurs d’écriture, les chercher et les corriger.

b) Exécuter cet algorithme dans le but d'obtenir un encadrement

d’amplitude 0,1 en complétant le tableau suivant et conclure :

Entrée a=0,b=1,n=1

f(0)<0 f(1) >0

b-a = Test : b-a est il inférieur à 0,1

Centre : m

signe de ( )

f m Encadrement de 

Signe du produit ( ) ( )

f a  f m ^{a b}

1^ère étape 1 1>0,1 0,5 − 0,5 <  < 1 positif 0,5 1

2^ème étape 0,5 0,5>0,1 0,75 + 0,5 <  < 0,75 négatif 0,5 0,75

c) Programmer cet algorithme sur votre calculatrice.

d) Quel encadrement de  obtient-on pour n =2 ? Pour n =5 ?

Pour n=1 a=0,5625 et b= 0,625 donc 0,5625 <  < 0,625 et donc 0,56 <  < 0,63 Pour n=2 a=0,5625 et b= 0,57031 donc 0,56 <  < 0,57 Pour n=5 a=0,567138 et b= 0,567146 donc 0,567 <  < 0,568

Langage naturel Entrée :

Saisir n

a prend la valeur 0 b prend la valeur 1

Traitement des données Tant que b-a > 10^-n

m prend la valeur (a+b)/2 p prend la valeur f a( ) f m( ) Si p > 0

Alors a prend la valeur m Sinon b prend la valeur m

Sortie Afficher a Afficher b

2 -1

-2

2 3

-1

0 1

1

x y

corrigé exemple 14 :

Entrée a=0,b=1,n=1

f(0)<0 f(1) >0

b-a = Test : b-a est il inférieur à 0,1

Centre : m

signe de ( )

f m Encadrement de 

Signe du produit ( ) ( )

f a  f m ^{a b}

1^ère étape 1 1>0,1 0,5 − 0,5 <  < 1 positif 0,5 1

2ème étape 0,5 0,5>0,1 0,75 + 0,5 <  < 0,75 négatif 0,5 0,75

3ème étape 0,25 0,25>0,1 0,625 + 0,5 <  < 0,625 négatif 0,5 0,625 4ème étape 0,125 0,125>0,1 0,5625 − 0,5625 <  < 0,625 positif 0,5625 0,625 5ème étape 0,0625 0,0625<0,1 0,59375 + 0,5625 <  < 0,59375

Sortie 0,5<  < 0,6 0,5625 0,625

Programme DICHOTO 2 Prompt A, B, N

While B-A>10^-N (A+B)/2 sto →M

(Ae^¨A-1)-(Me^M-1) sto → P If P>0

Then M sto →A Else M sto →B End End

Disp “A”,A Disp “B”, B

Langage naturel Entrée :

Saisir n

a prend la valeur 0 b prend la valeur 1

Traitement des données Tant que b-a>10^-n

m prend la valeur (a+b)/2 p prend la valeur f a( )f m( ) Si p > 0

Alors a prend la valeur m Sinon b prend la valeur m Fin Si

Fin tant que

Sortie Afficher a Afficher b

Attention cet algorithme marche avec une fonction Y1croissante Programme DICHOTOM Prompt A, B, P

B-A sto → T While T>P (A+B)/2 sto →X Y1 sto → Y If Y>0 Then X sto →B Else X sto →A End

B-A sto →T End

Disp “A”,A Disp “B”, B