Centre Universitaire d´Ain Temouchent IST
Physique 1 1er semestre 2009-2010
Fiche supplémentaire 1
Chargé du module: Prof. Dr. Abdesselam 22.11.2009
Exercice S.1.1
γ
a
b α c
β
A l´aide du produit vectoriel et l´addition des vecteurs: a+b+c = 0, trouver la règle du sinus:
a
sinα = b
sinβ = c sinγ.
Exercice S.1.2
Démonter que l´aire du parallelogramme est donnée par
−
→S
=
−
→a ×−→ b
, où les vecteurs −→
a et−→
b génèrent le parallelo- gramme.
Exercice S.1.3 (voir en général fiche TD1) Soit les champs scalaires
ϕ1 = cos (−→ α ·−→
r) ; −→
α =−−−→ const , ϕ2 = e−γr2 ; γ =const .
1. Calculer les champs de gradient −−→
gradϕi et leurs sourcesdiv−−→
gradϕi =△ϕi. 2. Calculer la divergence du vecteur uni-
taire −→
er=r−1−→ r .
3. Sous quelles conditions sera le champ de Vecteurs−→
a(−→
r) =f(r)−→
r libre de source c.à.d div−→
a = 0 ?
4. Calculer la divergence du champ de vecteurs −→
a(−→
r) = −−→
gradϕ1 × −−→
gradϕ2, (ϕ1, ϕ2 sont deux fois différentiables).
Exercice S.1.4 (voir Fiche TD1 Ex.2 VI ) 1. Monter que le champ vectoriel
−→ b(−→
r ) = yz+ 12xy, xz−8yz3+ 6x2, xy−12y2z2
n´est pas rotationnel c.à.d−→ rot−→
b =−→ 0. 2. Déterminer un champ scalaire ϕ(−→
r) qui vérifie
−−→gradϕ(−→ r) =−→
b(−→ r).
Exercice S.1.5 (voir fiche TD2)
Pour déterminer la valeur en eau µ d´un calorimètre, on applique la méthode des mélanges. Une certaine quantité d´eau m′, à
la température θ1, est versée dans une quan- tité d´eau m, à la température θ0 (θ1 > θ0), la température finale est θ2.
En écrivant que la chaleur cédée par la masse d´eau m′ sert à faire passer la masse d´eau m et le calorimètre de θ0 à θ2, on obtient l´équation
m′(θ1−θ2) = (m+µ) (θ2−θ0) .
Monter que
△µ
m+µ = △m′
m′ + △m
m+µ+ △θ1
θ1−θ2
+ △θ0
θ2−θ0
+θ1−θ0
θ1−θ2
△θ2
θ2−θ0
Exercice S.1.6 (voir fiche TD3 Ex. 3.3) Soit −→
A un champ vectoriel.
1. Ecrire l´expression du div−→
A dans le sys- tème de coordonnées sphériques.
2. Ecrire l´expression du −→ rot−→
A dans les systèmes de coordonneés cylindriques et sphériques.
3. En supposant que −→
A est un champ de gradient (−→
A = −→
∇ϕ) trouver l´expression du Laplacien △ϕ en coordonnées sphériques.
(Utiliser les résultats de la question 1 et de l´exercice 3.3 de la fiche TD3 ).
Exercice S.1.7
Comment s´ écrit l´équation du cercle en co- ordonnées cartésiènnes et en coordonnèes po- laires ?
Exercice S.1.8 ( voir Fiche TD1 Ex.2 VI ) Soit le champ de gradient
−
→A(x, y) = (1 + 2xy)−→
ex+ (x2+ 3y2)−→ ey.
Trouver le champ scalaire associé.
Rappel: un champ de gradient −→
b s´écrit:
−→ b =−→
∇ϕ.
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