C 2 sur [0, T ] × R. On sedonne une subdivision

Liene de Mathématiques Examen

Année universitaire 2009-2010 vendredi 4juin 2010

2 heures - Pas de douments. Calulettes et téléphones portables éteints.

Exerie 1 Soit àrésoudre numériquement un problème de Cauhy

y ^′ (t) = f(t, y(t)) y(0) = y 0

où

f

^{est de lasse}

C ²

^sur

[0, T ] × R

. On sedonne une subdivision

0 < t 1 < . . . < t N = T

de l'intervalle

[0, T ]

^etonnote

h n = t n+1 − t n

^{. On étudielaméthode numérique suivante:si}

y n

^{est la valeur approhée de la solutionau temps}

t n

^etsi

f n = f(t n , y n )

^onpose

(M ) y n +1 = y n−1 + Z t n+1

t n

− 1

p n (t)dt

où

p n (t)

^{est lepolynmede degré 1}interpolantles points

(t n−1 , f n−1 )

^et

(t n , f n )

^.

1. Donner l'expression du polynme

p n (t)

^.

2. Montrer que

y n+1 = y n−1 + h n

(h n + h n−1 ) ² 2h n−1 h n

f n − (h ² _n − h ² _n−1 ) 2h n−1 h n

f n−1

Identier lafontion

F

^{telle que}

y n +1 = y n−1 + h n F (t n−1 , t n , y n−1 , y n , h n−1 , h n ).

3. A quelle méthode seramène-t-on sile pas

h n

^{est onstant égal à}

h

^?

4. Soit

y(t)

^{une solution exate de l'équation}diérentielle. On pose

h = max

0≤i≤n h i .

Déterminerun équivalent en

O(h ^p+1 )

^{de l'erreurde onsistane}

η n = y(t n +1 ) − y(t n−1 ) − h n F (t n−1 , t n , y(t n−1 ), y (t n ), h n−1 , h n ).

Quel est l'ordre de ette méthode?

laméthode ave

y 1 = y 0 + h 0

2 f(0, y 0 ) + h 0

2 f h 0

2 , y 0 + h 0

2 f (0, y 0 )

.

Justieze hoix.

6. Dans le as

h n = h

^{, appliquer la méthode au as partiulier}

f(t, y) = ay

^{. Caluler}

y i

^,

y(t i )

^et

e i = y(t i ) − y i

^pour

i = 1, 2

^et

3

^.

On revient auas général pour

h n

^{variable et}

f

^quelonque.

On dénit leshéma perturbé

˜

y n+1 = ˜ y n−1 + h n F (t n−1 , t n , y ˜ n−1 , y ˜ n , h n−1 , h n ) + ε n ,

et onnote

θ n = max

0≤i≤n | y ˜ i − y i | .

7. À quelle ondition sur lasuite

θ n

^{la méthode est-ellestable?}

8. Ensupposant quela fontion

f

^est L-lipshitzienne par rapportà

y

^{montrer que}

| y ˜ n+1 − y n+1 | ≤ | y ˜ n−1 − y n−1 | + Lh n (A n | y ˜ n−1 − y n−1 | + B n | y ˜ n − y n | ) + | ε n | ,

où

A n

^et

B n

^{sontdeux oeients à}déterminer, dépendant uniquementde

h n /h n−1

^.

9. Déduire de la question préédente que

θ n +1 ≤

1 + Lh n

1 + max h n

h n−1

, h n−1

h n

θ n + | ε n | .

10. On suppose que le rapport de deux pas onséutifs de disrétisation est enadré par

deux onstantes

0.5 ≤ δ ≤ h ^h n ⁿ

− 1 ≤ ∆ ≤ 2

^{. Montrer que la suite}

u n = θ n

Q n−1

i=1 (1 + 3Lh i )

vérie

u n +1 ≤ u n + X n−1

i =1

| ε i | .

Endéduire quela méthode (M)est stable.

Exerie 2 On onsidère l'équation intégrale

(I) u(t) = a + bt − Z t

0

(t − s)g(s, u(s))ds

où

g(t, x)

^{est une fontion ontinue,}

| g(t, x) | ≤ M

^et

K

-Lipshitzienne par rapport à

x

^sur

le retangle

[ − T, T ] × [a − c, a + c]

^.

1. Montrer que si

u

^{est une fontion ontinue solution de ette équation intégrale, alors}

ellevérie

(E )

 



u ^′′ (t) + g(t, u(t)) = 0, u(0) = a,

u ^′ (0) = b.

2. Réiproquement,montrer qu'une solution ontinue de (E) vérie (I).

3. Onproposeunpremiershémanumériquepour alulerunesolutionapprohéede (E),

sur une disrétisation

t i = ih

^ave

h = T /N

^{de l'intervalle}

[0, T ]

^.

u 0 = a

u 1 = a + bh

puis

u n +1 = 2u n − u n−1 − h ² g(t n , u n )

Calulerl'erreur de onsistane

η n = u(t n +1 ) − 2u(t n ) + u(t n−1 ) + h ² g(t n , u(t n ))

etmontrer que 'est un

O(h ⁴ )

^.

4. Enutilisantla formeéquivalente(I), montrer que

u(t + h) = 2u(t) − u(t − h) + Z t+h

t

p(s − t)g(s, u(s))ds + Z t

t−h

q(s − t)g(s, u(s))ds

où

p

^et

q

^{sontdeux fontions anesque l'on} déterminera.

5. Proposer une méthode pour dénir une famille de shémas numériques, ontenant le

shéma déni àla question 3).

Exerie 3 Ononsidèreuneversiondisrétiséedutransportd'unpolluantdansunerivière.

Soit

M ∈ N ^⋆

. On pose

δ = 1/(M + 1)

^{et on disrétise l'intervalle d'étude}

[0, 1]

^ave

M + 2

points

x i = iδ, 0 = 1, . . . , M + 1.

Onnote

C i (t)

^laonentrationdupolluantaupoint

x i

^pour

i = 0, . . . , M +1

^.Laonentration aux bords de l'intervalle

x 0 = 0

^et

x M +1 = 1

^{est xée et onstante en temps et vaut}

respetivement

C 0 (t) = a

^et

C M+1 (t) = b.

ave

a

^et

b

^{deux onstantes réelles. On note}

K > 0

^{la diusivité du polluant et}

u ≥ 0

^la

vitesse du ourant. Les fontions

C i (t)

^,

i = 1, . . . , M

^{sont solutions du système} d'équations diérentiellessuivant

(S)

 



C _i ^′ (t) = K C i +1 (t) − 2C i (t) + C i−1 (t)

δ ² + u C i +1 (t) − C i−1 (t)

2δ ,

C i (0) = C e i ,

où

C ˜ i

^{est la} onentrationinitiale aupoint

x i

^.

1. On note

C(t) ∈ R ^M

leveteur des onentrations

C i (t)

^,

i = 1, . . . , M

^{. Montrer que le}

système diérentiel (S) peut se mettre sous laforme ompate

(S)

C ^′ (t) = AC(t) + B, C(0) = C, e

où

A

^{est une matrie}

M × M

^{, et}

B

^{est un veteurde}

R ^M

. Expliiter

A

^et

B

^.

Montrer que e système a une solutionunique.

2. On onsidère la matrietridiagonale

M × M

T =



 

 

 

β γ 0 . . . 0 α

^{... ... ... ...}

0

^{... ... ...}

0

.

.

. .

.

. .

.

. .

.

.

γ 0 . . . 0 α β



 

 

 

où

α

^,

β

^et

γ

^{sont trois onstantes réelles. On admettra que les valeurs propres de}

T

sont

λ k = β + 2 √ αγ cos

kπ M + 1

, k = 1, . . . , M.

ave éventuellementune raineomplexe si

αγ < 0

^.

Endéduire lesvaleurspropres de la matrie

A

^.

3. Montrer que lamatrie

A

^est inversible.

4. On suppose que

C ¯

^{est la solution du système linéaire}

AC + B = 0

^{. Montrer que la}

solution

C(t)

^{du problème (S) est}

C(t) = ¯ C + e ^At ( C e − C) ¯

5. Calulerla limitequand

t → + ∞

^{du veteur des} onentrations

C(t)

^.