Centre Universitaire d´Ain Temouchent IST
Physique 1 1er semestre 2009-2010
Fiche TD 1: Notions mathématiques
Chargé du module: Prof. Dr. Abdesselam 25.10.2009
Exercice 1: Vecteurs
On donne les vecteurs: a=
3 5
−1
etb=
−2 2 3
1) Representer les vecteurs aetb dans un rep`ere orthonormé (i,j,k).
2) Calculer les modules de aetb.
3) Construire a+b eta−b et calculer leurs composantes ainsi que leurs modules.
4) Donner l´expression du vecteurs v obtenu par la projection de a sur la direction de b.
Donner l´angle θ= (a,db).
5) Calculer le produit vectoriel c=a×b.
Exercice 2: Champs scalaires et vectoriels
I) Soit ϕ(r) un champ scalaire et~aun champ vectoriel. Demonter les relations suivantes:
∇ ·~ (∇ϕ)~ = ∆ϕ ,
∇ ×~ (∇ϕ)~ = ~0,
∇ ·~ (∇ ×~ ~a) = 0,
∇ ×~ (ϕ~a) = ϕ ~∇ ×~a+∇ϕ~ ×~a,
∇ ·~ (ϕ~a) = ϕ ~∇ ·~a+∇ϕ~ ·~a,
div ~r
r3
= 0.
II) Le potentiel scalaire électrostatique d´une charge ponctuelle dans un plasma (Gaz de par- ticules chargés) est décrit par
ϕ(r) = q 4πε0
e−αr
r ; r =|r|
1) Determiner les dérivées partielles du champs scalaireϕet donner le champs vectoriel∇~ ϕ. 2) Calculer∆ϕ, o`u ∆est le Laplacien: ∆ = ∂x∂22 +∂y∂22 +∂z∂22.
III) Soient~r1 = x1~i+y1~j+z1~k, ~r2 = x2~i+y2~j+z2~k et~r3 = x3~i+y3~j+z3~k les vecteurs de position des points P1(x1, y1, z1),P2(x2, y2, z2) etP3(x3, y3, z3). Trouver l«équation du plan passant par P1,P2 etP3. Application: P1(2,−1,1),P2(3,2,−1)etP3(−1,3,2).
IV)On considère la surface de l«équation z=xy:
1. Donner une représentation paramétrique~r=~r(u, v)de la surface.
2. Trouver l«équation du plan tangent à la surface au point (2.3,6).
V) SoitF une fonction des variables x, y, z et t, démontrer que dFdt = ∂F∂t +∇F~ ·d~dtr. VI) Déterminer la fonction f(z) pour que le champ A~ =f(z)h
2xz~i−2yz~j−(x2−y2)~ki soit un champ de gradiant. Déterminer alors le potentiel ?
Exercice 3: Systèmes de coordonnées
I) Un point ayant les coordonnées cartésiennesp: (3,3). Quelles sont ses coordonnées polaires ? II) Donner les pointspi= (xi, yi, zi):
p1= (1,0,1) ; p2 = (0,1,−1) ; p3 = (0,−3,0)
en
1) coordonnées sphériques(r, θ, ϕ), 2) coordonnées cylindriques (ρ, ϕ, z) ?
2
